本试卷共4页。全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★[来源:Z+xx+k.Com]

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的
信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置，用统一提供的2B铅笔将试卷类型A或B后方框涂黑。

2．选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答
：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。

4
．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑。考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。[来源:学科网]

5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，监考人员将答题卡和试题卷一并收回。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）[来源:Z§xx§k.Com]

1．在复平面内，复数
对应的点的坐标为（ ）

A．（0，1） B．（0，－1）

C．（
，－
） D．（
，
）

2．设随机变量δ服从正态分布N（3，7），若p（δ＞a+2）=p（δ＜a－2），则a=（ ）

A．1 B．2 C． D．4

3．已知某几何体的三视图（右上图），则该几何体的体积为（ ）

A．4+
B．4+

C．4+
D．4+π

4．如右图，已知K为如图所示的程序框图输出结果，二项式(xk+
)n的展开式中含有非零常数项，则
正整数n的最小值为（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

5．先后掷骰子（骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x、y，设事件A为“x+y为偶数”，事件B为“x、y中有偶数，且x≠y”，则概率P(B|A)=（ ）

A．
B．
C．
D
．

6．正项等比数列｛an｝中，存在两项am、an使得
=4a1，且a6=a5+2a4，则
的最小值是（ ）

A．
B．2 C．
D．
[来源:学科网ZXXK]

7．函数f(x)=sinωx+acosωx（ω＞0）的图象关于M（
，0）对称，且在x=
处函数有最小值，则a+ω的一个可能取值是（ ）

A．0 B．3 C．6 D．9

8．已知半径为5的球O被互相垂直的两个平面所截，得到两圆的公共弦
长为4，若其中一圆的半径为4，则另一圆的半径为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．设x、y满足约束条件
，若x2+y2≥a恒成立，则实数a的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．f(x)是定义在（－1，1）上的函数，对于?x，y∈(－1，1)有f(x)－f(y)=f
成立，且当x∈(－1，0)时，f(x)＞0，给出下列命题：①f(0)=0 ②函数f(x)是偶函数 ③函数f(x)只有一个零点 ④f(
)+f(
)＜f(
)，其中正确命题的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分．请将答案填在答题卡
对应题号的位置上，答错位置，书写不清、模棱两可均不得分）

11．已知函数f(x)=
，则
= ．

12．已知|
|=|
|=2，
与
的夹角为60°，则
+
在
上的投影为 ．

13．某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：

（1）频率分布直方图中［80，90）间的矩形的高为 ．

（2）若要从分数在［80，100］之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，至少有一份分数在［90，100］之间的概率为 ．

14．如右上图是斯特林数三角阵表，表中第r行每一个数等于它左肩上的数加上右肩上的数的r－1倍，则此表中：

（Ⅰ）第6行的第二个数是 ；

（Ⅱ）第n+1行的第二个数是 ．（用n表示）

15．（选修4－1：几何证明选讲）

如右下图，A，B是圆O上的两点，且OA⊥OB，OA=2，C为OA的中点，连结BC并延长交圆O于点D，则CD=
．

16．（选修4－4：坐标系与参数方程）

已知直线l的参数方程为
（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．设直线l与曲线C交于A，B两点，则
= ．

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，已知三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，向量
=（a，b），
=（cos(2π－B)，sin(
+A)），若a≠b且
∥
,

（Ⅰ）试求内角C的大小；

（Ⅱ）若a=6，b=8，△ABC的外接圆圆心为O，点P位于劣弧
上，∠PAB=60°，求四边形ABCP的面积．

18．（本小题满分12分）

公安部最新修订的《机动车驾驶证申领和使用规定》于2013年1月1日起正式实施，新规实施后，获取驾照要经过三个科目的考试，先考科目一（理论一），科目一过关后才能再考科目二（桩考和路考），科目二过关后还要考科目三（理论二）．只有三个科目都过关后才能拿到驾驶证．某驾校现有100名新学员，第一批参加考试的20人各科目通过的人数情况如下表：

参考人数

通过科目一人数

通过科目二人数

通过科目三人数



20

12

4

2



请你根据表中的数据：

（Ⅰ）估计该驾校这100名新学员有多少人一次性（不补考）获取驾驶证；

（Ⅱ）第一批参加考试的20人中某一学员已经通过科目一的考试，求他能通过科目二却不能通过科目三的概率；

（Ⅲ）该驾校为调动教官的工作积极性，规定若所教学员每通过一个科目的考试，则学校奖励教官100元．现从这20人中随机抽取1人，记X为学校因为该学员而奖励教官的金额数，求X的数学
期望．

20．（本小题满分12分）

已知函数f(x)=kx+m，当x∈［a1，b1］时，f(x)的值域为［a2，b2］，当x∈［a2，b2］时，f(x)的值域为［a3，b3］，依次类推，一般地，当x∈［an－1，bn－1］时，f(x)的值域为［an，bn］，其中k、m为常数，且a1=0，b1=1．

（Ⅰ）若k=1，求数列｛an｝，｛bn｝的通项公式；

（Ⅱ）若k＞0且k≠1，问是否存在常数m，使数列｛bn｝是公比不为1的等比数列？请说明理由；

（Ⅲ）或k＜0，设数列｛an｝，｛bn｝的前n项和分别为Sn，Tn，求（T1+T2+…+T2012）－（S1+
S2+…+S2012）的值．

21．（本小题共13分）

已知椭圆C：
（a＞b＞0）的离心率e=
，原点
到过点A（a，0），B（0，－b）的直线的距离是
．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若椭圆C上一动点P（x0，y0）关于直线y=2x的对称点为P1（x1，y1），求x12+y12的取值范围；

（Ⅲ）如果直线y=kx+1（k
≠0）交椭圆C于不同的两点E，F，且E，F都在以B为圆心的圆上，求k的值．

22．（本小题满分14分）

设函数f(x)=xl
nx．

（Ⅰ）求函数f(x)的最小值；

（Ⅱ）设x1，x2＞0，p1，p2＞0，且p1+p2=1，证明：p1f(x1)+p2f(x2)≥f(p1x1+p1x1)；

（Ⅲ）设x1，x2，…，xn＞0，p1，p2,…，pn＞0，且p1+p2+…+pn=1，如果p1x1+p2x2+…+pnxn≥e，证明：p1f(x1)+p2f(x2)+…+pnf(xn)≥e．

数学（理科）模拟试题参考答案

一、选择题

二、填空题

11．
12． 3 13．① 0.016 ②

14．① 274 ②
15．
16． 0

三、解答题

17．（本小题满分12分）

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由表中数据可知一次性（不补考）获取驾驶证的频率为
，估计这100名新学员中有100×
=10人； 3分

（Ⅱ）设“通过科目一、二、三”分别为事件A，B，C，则

P=P(B
|A)=
6分

（Ⅲ）设这个学员一次性过关的科目数为Y，则Y的分布列为

8分

EY=0×
+1×
+2×
+3×
=
10分

而X=100Y，所以EX=100EY=100×
=90 12分

20．解：（Ⅰ）k=1时函数?(x)=kx+m为增函数，所以an=an－1+m bn=bn－1+m

所以an=a1+（n－1）m=（n－1）m bn=b1+(n－1)m=(n－1)m+1 4分

（Ⅱ）bn=kbn－1+m，
=k+
（为常数）则必有m=0，故当m=0时｛bn｝是公比为k的等比数列 8分

（Ⅲ）bn=kan－1+m ①

an=kbn－1+m ②

①－②得bn－an=－k(bn－1－an－1)

若k=－1
，则bn－an=bn－1－an－1=…=b1－a1=1

可得Tn－Sn=n

（T1+T2+…+T2012）－（S1+S2+…+S2012）=1+2+…+2012=2025078

若k≠1，则bn－an=（－k）n－1

Tn－Sn=

（T1+T2+…+T2012）－（S1+S2+…+S2012）=

12分

21．（共13分）

解：（Ⅰ）因为
，a2－b2=c2

所以a=2b

因为原点到直线AB：
=1的距离d=
，

解得a=4，b=2．

故所求椭圆C的方程为
．

（Ⅲ）由题意

，消去y，整理得

（1+4k2）x2+8kx－12=0.

可知Δ＞0.

设E(x2，y2)，?（x3，y3），E?的中点是M（xM，yM），[来源:Z+xx+k.Com]

则xM=
，y=kxM+1=
.

所以kBM=
.

所以xM+kyM+2k=0.

即
+2k=0.

又因为k≠0，

所以k2=
.所以k=±
. 13分

（Ⅲ）先证明p1?(x1)+p2?(x2)+…+pn?(xn)≥?(p1x1+p2x2+…+pnxn).

当n=2时，由（Ⅱ）知不等式成立．

假设当n=k时，不等式成立，即

p1?(x1)+p2?(x2)+…+pk?(xk)≥?(p1x1+p2x2+…+pkxk).

当n=k+1时，

?(p1x1+p2x2+…+pkxk+pk+1xk+1)=?

≤

≤

=p1?(x1)+p2?(x2)+…+pk+1?(xk+1)+pk+1?(xk+1).

所以，当n=k+1时，不等式成立，

∴p1?(x1)+p2?(x2)+…+pn?(xn)≥?(p1x1+p2x2+…+pnxn).

由（Ⅰ）?(x)在（
，+∞）上单调递增，因此?(x)在(e，+∞)上也单调递增．

∵p1x1+p2x2+…+pnxn≥e，

∴?(p1x1+p2x2+…+pnxn)≥?(e)=e.

∴p1?(x1)+p2?(x2)+…+pn?(xn)≥e. 14分