本试卷共4页。全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置，用统一提供的2B铅笔将试卷类型A或B后方框涂黑。

2．选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，监考人员将答题卡和试题卷一并收回。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）[来源:学科网]

1．如果复数（2－bi）i（其中b∈R）的实部与虚部互为相反数，则b=（ ）

A．2 B．－2 C．－1 D．1

2．设集合A=
｛x|－3＜x＜1｝，B=｛x|log2|x|＜1｝则A∩B等（ ）

A．（－3，0）∪（0，1） B．（－1，0）∪（0，1）

C．（－2，1） D．（－2，0）∪（0，1）

3．样本中共有5个个体，其中四个值分别为0，1，2，3，第五个值丢失，但该样本的平均值为1，则样本方差为（ ）

A．
B．
C．
D．2

5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列条件，能得到m⊥β的是（ ）

A．α⊥β，m?α B．m⊥α，α⊥β C．m⊥n，n?β D．m∥n，n⊥β

6．已知点Q（5，4），若动点P（x，y）满足
，则PQ的最小
值为（ ）

A．
B．
C．5 D．以上都不对

7．如图，在△OAB中，∠AOB=120°，OA=2，OB=1，C、D分别是线段OB和AB的中点，那么
=（ ）

A．－2 B．－
C．－
D．

8．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知双曲线
的两条渐近线与以椭圆
的左焦点为圆心、半径为
的圆相切，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知定义在R上的偶函数f(x)满足：?x∈R恒有f(x+2)=f(x)－f(1)．且当x∈［2，3］时，f(x)=－2(x－3)2．若函数y=f(x)－loga(x+1)在(0，+∞)上至少有三个零点，则实数a的取值范围为（ ）

A．（0，
） B．（0，
） C．（1，
） D．（1，
）

二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）

11．若命题“存在实数x，使x2+ax+1＜0”的否定是真命题，则实数a的取值范围为 ．

16．已知函数f(x)=
sin2x－cos2x，x
∈R，给出以下说法
：

①函数f(x)的图象的对称轴是x=
+
，k∈Z；

②点P（
，0）是函数f(x)的图象的一个对称中心；

③函数f(x)在区间［
，π］上的最大值是
；[来源:学.科.网]

④将函数f(x)的图象向右平移
个单位，得到函数g(x)=sin2x－
cos2x的图象．[来源:Z_xx_k.Com]

其
中正确说法的序号是 ．

17．分形几何学是数学家伯努瓦·曼得尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图：

易知第三行有白圈5个，黑圈4个，我
们采用“坐标”来表示各行中的白圈、黑圈的个数．比如第一行记为（1，0），
第二行记为（2，1），第三行记为（5，4），则第四的白圈与黑圈的“坐标”为 ．照此规律，第n行中的白圈、黑圈的“坐标”为 ．

三、解答题（共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18．（本小题满分12分）

在等差数列｛an｝中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列｛bn｝的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=

（Ⅰ）求an与bn；

（Ⅱ）数列｛cn｝满足cn=
，求｛cn｝的前n项和Tn．

19．（本小题满分12分）

在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足bcosC=（3a－c）cosB．

（Ⅰ）求cosB；

（Ⅱ）若
=4，b=4
，求边a、c的值．

21．（本小题满分14分）

已知直角坐标平面内一动点P到点F（2，0）的距离与直线x=－2的距离相等．

（Ⅰ）求
动点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过点M（m，0）（m＞0）作直线与曲线C相交于A，B两点，问：是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

22．（本小题满分14分）

设函数f(x)=lnx－
ax2－bx．

（Ⅰ）当a=b=
时，求函数f(x)的最大值；

（Ⅱ）令F（x）=f(x)+
ax2+bx+
（
0＜x≤3）其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤
恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）当a=0，b=－1时，方程2mf(x)=x2有唯一实数解，求正数m的值．

数学(文史类)模拟试题参考答案

一、选择题(每小题5分，共50分)

题号

1

2

3

4

5[来源:学+科+网]

6

7


8

9

10



答案

B

D

D

D

D

C

B

C

A

B



二、填空题(每小题5分，共35分)

11．［－2，2］ 12． 9 13． 30
14． 23

15．
16． ①②④ 17．(14，13)

三、解答题(本大题共5小题，共65分)

19．解：(Ⅰ)由正弦定理和bcosC=(3a－c)cosB，得

sinBcosC=(3sinA－sinC)cosB，

化简，得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，[来源:Zxxk.Com]

即sin(B+C)=3sinAcosB，

故sinA=3sinAcosB．

因为sinA≠0，

所以cosB=
． 6分

(Ⅱ)因为
·
=|
|·|
|·cosB=4．

所以|
|·|
|=12，即ac=12． ①

又因为cosB=
，

整理，得a2+c2=40． ②

联立①②

解得
或
12分

21．解：(Ⅰ)由抛物线的定义，知所求P点的轨迹是以F(2
，
0)为焦点，直线x=－2为准线的抛物线．其方程为y2=2px，其中
=2，p=4．

所以，动点P的轨迹C的方程为y2=8x． 5分

(Ⅱ)设过点M的直线方程为x=λy+m，代入y2=8x，得

y2－8λy－8m=0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2=8λ，y1y2=－8m．

于是x1+x2=λ(y1+y2)+2m=8λ2+2m．

∴AB的中点坐标为(4λ2+m，4λ)．

又AB=
=

=
．

设存在直线x=x0满足条件，则2|4λ2+m－x0|=

化简，得(16+8x0)λ2+8m－m2－x02+2mx0=0
．

所以，(16+8x0)λ2+8m－m2－x02+2mx0=0对任意的λ成立，

所以
，解得x
0=－2，m=2．

所以，当m=2时，存在直线x=－2与以线段AB为直径的圆始终相切． 14分

22．解：(Ⅰ)依题意，知f(x)的定义域为(0，+∞)，

当a=b=
时，f(x)=lnx－
x2－
x，

f '(x)=
2分

令f '(x)=0，解得x=1.(∵x＞0)

当0＜x＜1时，f '(x)＞0，此时f(x)单调递增；

当x＞1时，f '(x)＜0，此时f(x)单调递减；

所以f(x)的极大值为f(1)=－
，此即为最大值 4分

(Ⅱ)F(x)=lnx+
，x∈(0，3］，则有k=F'(x)=
，在x0∈(0，3］上恒成立，

∴a≥(－
+x0)max，x0∈(0，3］

当x0=1时，－
+x0取得最大值
，所以a≥
8分