命题人：刁新发 审题人：备课组 2013.5.30

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合
，
，则
（ ）

A．
B．

C．
且
D．

2.
是虚数单位，若集合
=
，则（ ）

A．
B．
C．
D．
∈

3．如图给出的是计算
的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入（ ）

A．
B．

C．
D．

4.10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是(　　 　)

A. B.  C. D. 

[来源:Zxxk.Com]

5.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是(　 　)

A．8－
B．8－
C．8－2
D.

6. 以下命题错误的是( )

A.命题“
”的否定是“
”

B.已知随机变量
服从正态分布
，
则

C.函数
的一个零点落在

D.函数
的最小正周期是

7. 二项式
的展开式的第二项的系数为
，则
的值为（　 　　）

A.
B.
C.
或
D.
或

8.已知函数
的零点依次为a，b，c，则（　 　　）

A．a＜b＜c B．c＜b＜a C
．c＜a＜b D．b＜a＜c

二、填空题（本大题共4小题，满分20分）

11．4个家庭到某景点旅游，该景点有4条路线可供游览，其中恰有1条路线没有被这4个家庭中的任何1个游览的情况有 种．

12.已知点
满足约束条件，点
则
（
为原点）的最小值是_____
_.

13.已知等比数列
中，
，
，若数列
满足
，则数列
的前
项和
＝________
．

14. 已知点
是单位圆
上的动点，满足
且
，

则

三、选做题：请在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分.

15(1)设曲线
的参数方程为
，直线
的极坐标方程为

，则曲线
上到直线
的距离为2的点有 个.

(2)若不等式
恒成立，则实数
的取值范围为 .

四、解答题（本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）

16．（本小题满分12分）已知函数
．

（1）求函数
的最小值和最小正周期；

（2）设△
的内角
的对边分
别为
且
，
，若
，求
的值。

17.（本小题满分12分）为了响应学校“学科文化节”活动，数学组举办了一场数学知识比赛，共分为甲、乙两组．其中甲组得满分的有1个女生和3个男生，乙组得满分的有2个女生和4个男生．现从得满分的学生中，每组各任选2个学生，作为数学组的活动代言人．

（1）求选出的4个学生中恰有1个女生的概率；（2）设
为选出的4个学生中女生的人数，求
的分布列和数学期望．

20.(本小题满分13分)

已知椭圆
：
的右焦点
在圆
上，直线
交椭圆于
、
两点.

(1)求椭圆
的方程；

(2)若
(
为坐标原点)，求
的值；

(3)设点
关于
轴的对称点为
（
与
不重合），且直线

与
轴交于点
，试问
的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

[来源:Z#xx#k.Com]

21. (本小题满分14分)

已知函数
，
，

⑴求函数
的单调区间；

⑵记函数
，当
时，
在
上有且只有一个极值点，求实数
的取值范围；

⑶记函数
，证明：存在一条过原点的直线
与
的图象有两个切点

江西赣县中学北校区高三年级第三次适应性考试

数学（理科）参考答案

17.解：（1）设“从甲组内选出的2个同学均为男同学；从乙组内选出的2个同学中，1个是男同学，1个为女同学”为事件
，“从乙组内选出的2个同学均为男同学；从甲组内选出的2个同学中1个
是男同学，1个为女同学”为事件
，由于事件
?
互斥，且

∴选出的4个同学中恰有1个女生的概率为

……………………5分

（2）
可能的取值为0，1，2，3，

∴
的分布列为

0

1

2

3



P











…………10分

∴
的数学期望
…………………………12分

18．（本小题满分12分）

（1）证明：因为
平面
，所以
．………………2分

因为四边形
为正方形，所以
，

所以
平面
．

所以平面

平面
． ………………4分

（2）解：在平面
内过
作直线
．

因为平面

平面
，所以
平面
．

由
两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系
．

设
，则
．

所以
，
．

19．【解析】(1) 因为
，

所以 ① 当
时，
，则
，………………………………1分

② 当
时，
，……………………2分

所以
，即
，

所以
，而
，……………………4分

所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列，所以
．……………6分

（2）由(1)得
．

所以 ①
，

②
，……………8分

②-①得：
，……………10分

.………………12分

20解(1)由题设知，圆
的圆心坐标是
，半径为
，

故圆
与
轴交与两点
，
.……………1分

所以，在
椭圆中
或
，又
，

所以，
或
(舍去，∵
),
…于是，椭圆
的方程为
.………4分

(3)∵
，
, ∴直线
的方程为
…

令
，则

,

∴
解法一：

…………13分

当且仅当
即
时等号成立. 故
的面积存在最大值
.…

(或:
,

令
， 则

当且仅当
时
等号成立，此时
故
的面积存在最大值
.…

21．（1）因为
，

①若
，则
，
在
上为增函数，2分 ②若
，令
，得
，

当
时，
；当
时，
．

所以
为单调减区间，
为单调增区间． 综上可得，当
时，
为单调增区间，

当
时，
为单调减区间，
为单调增区间． ……………4分

（2）
时，
，

， ……………………………………………………5分

在
上有且只有一个极值点，即
在
上有且只有一个根且不为重根，

由
得
，

（i）
，
，满足题意；…… 6分（ii）
时，
，即
；… 7分

（iii）
时，
，得
，故
； 综上得：
在
上有且只有一个极值点时，
． ………8分注：本题也可分离变量求得．

（3）证明：由（1）可知：[来源:Zxxk.Com]

（i）若
，则
，
在
上为单调增函数，

所以直线
与
的图象不可能有两个切点，不合题意．……………………9分

（ⅱ）若
，
在
处取得极值
．

若
，
时，由图象知不可能有两个切点．…………………………10分

故
，设
图象与
轴的两个交点的横坐标为
（不妨设
），