【考试时间：120分钟 分值：160分】

命题人： 童 标 郭 海 张清华 审题人：卞存明

参考公式：样本数据
的方差
，其中
；

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.

1、集合
，
，则
▲ ．

2、若复数
是实数，则
▲ ．

3、如果
，
为第一象限角，则
▲ ．

4、已知正六棱锥
的底面边长为1
，高为1
，则棱锥的体积

为 ▲
．

5、高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应

为 ▲ ．

6、已知某一组数据
，则其方差为 ▲ ．

7、阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S值为 ▲ ．

8、若
是定义在
上周期为2的偶函数，当
时，
，则函数
的零点个数为 ▲ ．

9、若命题“
，使得
”为假命题，则实数
的范围 ▲ ．

10、在△ABC中，AH为BC边上的高，
＝
，则过点C，以A，H为焦点的双曲线的离心率为 ▲ ．

11、设等比数列
的公比
，
表示数列
的前
项的和，
表示数列
的前
项的乘积，
表示
的前
项中除去第
项后剩余的
项的乘积，即

，则当
，
，数列
的前
项的和是 ▲ ．

12、已知
都是定义在R上的函数，
,

（
）,
在有穷数列
中，任意取正整数
（
），则前
项和不小于
的概率是 ▲ ．

13、设
,
,
为单位圆
上不同的三点，则点集

所对应的平面区域的面积为 ▲ ．

14、函数
，
，函数
在
处取得极值（
），
在
上的最大值比最小值大
，若方程
有3个不同的解，则函数
的值域为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.

15、(本小题满分14分)

在
中，
分别是
A、
B、
C的对边,
满足

(Ⅰ）求角B的大小；

(Ⅱ)在区间
上任取
，求
的概率；

（Ⅲ）若AC＝
，求ΔABC面积的最大值.

16、(本小题满分14分)

直三棱柱
中，
，
．

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

(Ⅱ)求三棱锥
的体积．

17、(本小题满分14分)

工厂生产某种零件，每天需要固定成本100元，每生产1件，还需再投入资金2元，若每天生产的零件能全部售出，每件的销售收入
（元）与当天生产的件数
（
）之间有以下关系：
,设当天利润为
元.

（Ⅰ）写出
关于
的函数关系式；

（Ⅱ)要使当天利润最大，当天应生产多少零件？（注：利润等于销售收入减去总成本）

18、(本小题满分16分)

设等比数列
的首项为
，公比为
为正整数），且满足
是
与
的等差中项；等差数列
满足
.

（Ⅰ）求数列
，
的通项公式；

（Ⅱ) 若对任意
，有
成立，求实数
的取值范围;

（Ⅲ）对每个正整数
，在
和
之间插入
个2，得到一个新数列
.设
是数列
的前
项和，试求满足
的所有正整数
.

19、(本小题满分16分)

已知椭圆
过点
，椭圆
左右焦点分别为
，上顶点为
，
为等边三角形.定义椭圆C上的点
的“伴随点”为
.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

(Ⅱ)若圆
的方程为
＋
＝
，圆
和x轴相交于A，B两点，点P为圆
上不同于A，B的任意一点，直线PA，PB交y轴于S，T两点．当点P变化时，以ST为直径的圆
是否经过圆
内一定点？请证明你的结论；

（Ⅲ）直线l交椭圆C于H、J两点,若点H、J的“伴随点”分别是L、Q,且以LQ为直径的圆经过坐标原点O.椭圆C的右顶点为D，试探究ΔOHJ的面积与ΔODE的面积的大小关系,并证明.

20、(本小题满分16分)

已知函数
．

（Ⅰ）设函数
定义域为

①求定义域
；

②若函数

在
上有零点，求
的最小值；

(Ⅱ) 当
时，
，若对任意的
，都有
恒成立，求实数
的取值范围；（注：
为自然对数的底数）

（Ⅲ）当
时，函数
图象上的点都在
所表示的平面区域内，求实数
的取值范围．

2013届高三年级第三次模拟考试

数学试题（附加题）

（ 满分40分，考试时间30分钟）

21、[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

A、[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，M, N是圆上两点，直线MN交AD的延长线于点C，交⊙O的切线于B，BM＝MN＝NC＝1，求AB的长和⊙O的半径．

B、[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知矩阵

（Ⅰ）求矩阵
的逆矩阵
；

（Ⅱ）若直线
经过矩阵
变换后的直线方程为
，求直线
的方程.

C、[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

已知圆
的极坐标方程是
，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线
的参数方程为
（
为参数）.若直线
与圆
相交于
,
两点，且
.

（Ⅰ）求圆
的直角坐标方程，并求出圆心坐标和半径；

（Ⅱ）求实数
的值.

D、[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）

已知函数
，

（Ⅰ）已知常数
，解关于
的不等式
；

（Ⅱ）若函数
的图象恒在函数
图象的上方，求实数
的取值范围.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22、（本小题满分10分）

已知
等10所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为
.

（Ⅰ）如果该同学10所高校的考试都参加，试求恰有2所通过的概率；

（Ⅱ）假设该同学参加每所高校考试所需的费用均为
元，该同学决定按
顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参加其它高校的考试，试求该同学参加考试所需费用
的分布列及数学期望.

23、（本小题满分10分）

已知
为正整数.

（Ⅰ）用数学归纳法证明：当
时，
；

（Ⅱ）对于
，已知
，求证：
，
；

（Ⅲ）求出满足等式
的所有正整数
.

2013届高三年级第三次模拟考试参考答案

1、
2、4 3、
4、
5、20 6、2 7、

8、2 9、
10、2 11、
12、
13、
14、

15、解：

(Ⅰ）由
得
-------------------4分；

(Ⅱ) 由
，得
，--------------6分

所以
的概率为
-------------8分

（Ⅲ）由
，
.

，ΔABC面积的最大值为
.--------------14分

16、(Ⅰ）略；--------------8分

(Ⅱ)三棱锥
的体积为
．--------------14分

17、解：(1) 当0＜x≤10时，y＝x(83－x2)－100－2x＝－x3＋81x－100；

当x＞10时，y＝x(－)－2x－100＝－2x－＋420.

① 当0＜x≤10时，y′＝81－x2，令y′＝0，得x＝9 ------- .(9分)

当x∈(0,9)时，y′＞0；当x∈(9,10)时，y′＜0.

∴ 当x＝9时，ymax＝386；(10分)

② 当x＞10时，y′＝－－2，令y′＝0，得x＝11. ------- (12分)

当x∈(10,11)时，y′＞0；当x∈(11，＋∞)时，y′＜0.

∴ 当x=11时，ymax＝387.(14分)

∵ x∈N*，

∴ 综合①②知：当x＝11时，y取最大值．

故要使当天利润最大，当天应生产11件零件．------- (14分)

18、解： （1）由题意
，则
，解得
或

因为
为正整数，所以
， 又
，所以
------3分

。----------6分

（2）
．

记
当
时
，得
单调减，----------8分

又
，所以
---------10分

（3）由题意知，

则当
时，
，不合题意，舍去；-------------------11分

当
时，
，所以
成立；-------------------12分

当
时，若
，则
，不合题意，舍去；从而
必是数列
中的某一项
，则

-------------------13分

又
，所以

，

即
，所以

因为
为奇数，而
为偶数，所以上式无解。

即当
时，
-------------------15分

综上所述，满足题意的正整数仅有
。-------------------16分

19、解：（1）由已知
，解得
,方程为
.···············4分

（2）（法一坐标参数）设P(
，
)(
≠0)，则
＋
＝4．又A(－6，0)，B(－2，0)，所以
：y＝
(x＋6)，S(0，
)，
：y＝
(x＋1)，T(0，
)．

圆
的方程为
＋
＝
．化简得
＋
－(
＋
)y－12＝0，令y＝0，得x＝
．又点(
，0)在圆
内，所以当点P变化时，以ST为直径的圆
经过圆
内一定点(
，0)．························10分

法二斜率参数也可以

（3） 设
,则
;

1)当直线
的斜率存在时,设方程为
,

由
得:
；

有
①····························12分

由以
为直径的圆经过坐标原点O可得:
；

整理得:
②

将①式代入②式得:
,

又点
到直线
的距离

所以
·············································································14分

2) 当直线
的斜率不存在时,设方程为

联立椭圆方程得:
；代入
得
；

,

综上:
的面积是定值

又
的面积也为
,所以二者相等. ·························································16分

20、解析：（Ⅰ）①定义域
；………………3分

②

=0

即
， 令
,方程为
，
，

设

，

当
，即
时，只需
，此时，
；

当
，即
时，只需
，即
，此时
．
的最小值为
．……………………………… 5分

(Ⅱ)（方法一）由题，

令
，注意
的图像过点（0，-1）,且开口向上，从而有

(1)
，
单调递增，

所以有
得
； …………………………7分

(2)当
即
时，
单调递减，

所以有
得
，故只有
符合；

………………………………………………………………………………9分

(3)当
即
时，记函数
的零点为
，

此时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，

所以，

因为
是函数
的零点，所以
，

故有

令
，
，则

所以函数
在
上单调递减，故
恒成立，

此时，
；

综上所述，实数
的取值范围是
。 ………………………………11分

（方法二参数分离法也给分）

（Ⅲ）因函数
图象上的点都在
所表示的平面区域内，则当
时，不等式
恒成立，即
恒成立，设
（
），只需
即可．

由

，

（ⅰ）当
时，
，当
时，
，函数
在
上单调递减，故
成立． 13分

（ⅱ）当
时，由
，因
，所以
，

①若
，即
时，在区间
上，
，则函数
在
上单调递增，
在
上无最大值（或：当
时，
），此时不满足条件；

②若
，即
时，函数
在
上单调递减，在区间
上单调递增，同样
在
上无最大值，不满足条件． 15分

（ⅲ）当
时，由
，∵
，∴
，

∴
，故函数
在
上单调递减，故
成立．

综上所述，实数a的取值范围是
． 16分

2013届高三年级第三次模拟考试附加题答案

21、[选做题]本题包括B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（1）解析：∵AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，直线BMN是⊙O的割线，∴∠BAC＝90°，AB2＝BM·BN.

22. 答案：（Ⅰ）因为该同学通过各校考试的概率均为
，所以该同学恰好通过2所高校自主招生考试的概率为

. 4分

（Ⅱ）设该同学共参加了
次考试的概率为
（
）.

∵
， ∴所以该同学参加考试所需费用
的分布列如下：



2

3

4

5

6

7

8

9

10



























 ∴
，

令
, …（1）

则
, …（2）

由（1）-（2）得
，

所以
，

所以

(元). 10分0

23、解：（1）用数学归纳法证明：（i）当
时，原不等式成立；当
时，左边
，右边
，因为
，所以左边≥右边，原不等式成立；

（ii）假设当
时，不等式成立，即
，则当
时，∵
，∴
，于是在不等式
两边同乘以
得，
所以
即当
时，不等式也成立综合（i）（ii）知，对一切正整数，不等式都成立。3分（2）当
时，由（1）得
于是
，
。6分（3）解：由（2），当
时，
，∴
即
即当
时，不存在满足该等式的正整数n故只需要讨论
的情形：当
时，
，等式不成立；当
时，
，等式成立；当
时，
，等式成立；当
时，
为偶数，而
为奇数，故
，等式不成立；当
时，同
的情形可分析出，等式不成立综上，所求的n只有
。10分