太 原 五 中

2012—2013学年度第二学期月考(5月28日)

高 三 数 学（理）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内；

2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚；

3．请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑；

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集
,集合
,
,则集合
( )

A．
B．
C．
D.

2．命题“若
则
”的否命题是 （ ）

A．若
，则
B．若
，则

C．若
，则
D．若
，则

3．已知是虚数单位，复数的共轭复数是
，如果
，那么等于( )

A．
B．

C．
D．

4下图是用模拟方法估计圆周率的程序框图,表示估计结果,则图中空白框内应填入( )

A.
B.

C.
D.

5．以下四个命题中错误的是（ ）

已知随机变量X~N（2，9），
则

两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1

在回归直线方程
中，当解释变量每增加一个单位时,预报变量
平均增加0.2个单位

对分类变量
与的随机变量
的观测值
,
越小,“
与有关系”的把握程度越大.

6．若
的展开式中第四项为常数项，则
（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

7．已知函数
，为了得到函数
的图象，只需要将
的图象( )

A.向右平移
个单位长度 B.向左平移
个单位长度

C.向右平移
个单位长度 D.向左平移
个单位长度

8．给四面体ABCD的六条棱分别涂上红，黄，蓝，绿四种颜色中的一种，使得有公共顶点的棱所涂的颜色互不相同，则不同的涂色方法共有 ( )

A．96 B．144 C. 240 D. 360

9．已知直线

与圆
交于不同的两点、，
是坐标原点，且有
，那么
的取值范围是( )

A.
B.
C.
D.

10．把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的正四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为( )

A．l0
cm B．10 cm

C．10
cm D．30cm

11．已知函数
(
)定义域为
,则
的图像不可能是( )

（A） （B） （C） （D）

12． 如图，边长为1的正方形
的顶点,分别在轴、轴正半轴上移动，则
的最大值是（ ）

A B
C
D 4

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。

13．如图，平面截圆柱，截面是一个椭圆，若截面与圆柱底面所成的角为
，则椭圆的离心率为 __________

14.“无字证明”(proofs without words), 就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现.请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系,写出该图所验证的一个三角恒等变换公式:________.



图甲 图乙

15．已知数列{an}中，a1=1，a2=0，对任意正整数n，m(n>m)满足
，则a119=

16．在ΔABC中，
，
，则
__________。

三、解答题：本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）

在公比为的等比数列
中，
与
的等差中项是
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若函数
，
，的一部分图像如图所示，
，
为图像上的两点，设
，其中与坐标原点
重合，
，求
的值.

18. (本题满分12分）

2013年，我国许多城市遭遇了雾霾天气。经气象局统计，某市从1月1日至1月30日这30天里有26天出现雾霾天气。《环境空气质量指数（AQI）技术规定（试行）》依据AQI指数高低将空气污染级别分为：优，指数为0—50；良，指数为51—100；轻微污染，指数为101—150；轻度污染，指数为151—200；中度污染，指数为201—250；中度重污染，指数为251—300；重度污染，指数大于300．下面表1是该观测点记录的4天里，AQI指数
与当天的空气水平可见度（千米）的情况，表2是某气象观测点记录的该市1月1日到1月30日AQI指数频数统计结果，

表1：AQI指数
与当天的空气水平可见度（千米）情况

AQI指数











空气可见度（千米）











表2： 1月1日到1月30日AQI指数频数统计

AQI指数













频数

3

6

12

6

3





（Ⅰ）设变量
，根据表1的数据，求出
关于的线性回归方程；

（Ⅱ）小王在记录表2数据的观测点附近开了一家小饭馆，饭馆生意的好坏受空气质量影响很大。假设每天空气质量的情况不受前一天影响。经小王统计：AQI指数不高于
时，饭馆平均每天净利润约700元，AQI指数在
至
时，饭馆平均每天净利润约
元，AQI指数大于
时，饭馆每天要净亏损200元．

（ⅰ）将频率看作概率，求小王在连续三天里饭馆净利润约1200元的概率；

（ⅱ）计算该饭馆一月份每天收入的数学期望.

（用最小二乘法求线性回归方程系数公式
，
）.

19.（本小题满分12分）

如图，在长方形ABCD中，
的中点，F为AE的中点.现在沿AE将三角形ADE向上折起，在折起的图形中解答下列两个问题：

（I）在线段AB上是否存在一点K，使BC//面DFK？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由；

（II）若面
面ABCE，求二面角E—AD—B的余弦值.

20.（本小题满分12分）

已知点E(m,0)为抛物线
内的一个定点，过E作斜率分别为k1、k2的两条直线交抛物线于点A、B、C、D，且M、N分别是AB、CD的中点

（1）若m = 1，k1k2 = -1，求三角形EMN面积的最小值；

（2）若k1 + k2 = 1，求证：直线MN过定点。

（本小题满分12分）

已知函数
（其中为常数）.

(Ⅰ)当
时，求函数
的单调区间；

(Ⅱ) 当
时，设函数
的3个极值点为
，且
. 证明：
.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号。

22.（本题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲

如图,已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C,过点B和两圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2于点D、E,DE与AC相交于点P.

(1)求证:AD∥EC;

(2)若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长.

23.（本题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中,直线
的参数方程为
(为参数),直线
与曲线
交于
两点

(1)求
的长;

(2)在以
为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点的极坐标为
,求点到线段
中点
的距离.

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数
．

（Ⅰ）若
，求不等式
的解集；

（Ⅱ）若方程
有三个不同的解，求的取值范围．

太原五中数学参考答案

一、选择题

1. C 2.C 3.D 4.D 5.D 6.B 7.D 8.A 9. C 10.B 11.D 12.A

二、填空题

13.
； 14.
；15.-1；16.

18、解：（Ⅰ）由
，则
，
，
，
，
，

，

∴
，

∴关于的线性回归方程是
4分

（Ⅱ）（ⅰ）由表2知AQI指数不高于
的频率为0.1，AQI指数在
至
的频率为0.2，AQI指数大于
的频率为0.7，设“饭馆某天收入约700元”为事件，“饭馆某天收入约400元”为事件，“饭馆某天亏损约200元”为事件，若将频率看作概率，则
，
，
.

则“连续三天里饭馆净利润约1200元”的概率：

……8分

（ⅱ）由（ⅰ），设饭馆每天的收入为，则的分布列为



















 10分

则的数学期望为

. 12分

19. 解：（Ⅰ）线段
上存在一点，且当
时，
∥面
…………………1分

证明如下：

设
为
的中点，连结
，则
∥

又因为
，为
的中点

所以
∥
，所以
∥
，…………4分

面
，
面
，
∥面
…………………5分

（Ⅱ）
为
的中点，
,

为
的中点，
.

，
，面
面
，
面

由此可以
分别为
轴，建立坐标系如图……………7分

因为
面
，所以

，又
，
，

面
，则
为面
的一个法向量.

因为
，
，所以
，
…………9分

又可得：
，
，所以
，

设面
的法向量为

由

，即
，令
，则
…11分

所以
，故二面角
的余弦值为
………12分

20、解析：（Ⅰ）当
时，E为抛物线
的焦点，

∵
，∴AB⊥CD

设AB方程为
，

由
，得
，

AB中点
，∴
，

同理，点
……2分

∴
……4分

当且仅当
，即
时，△EMN的面积取最小值4． …6分

（Ⅱ）证明：设AB方程为
，

由
，得
，

AB中点
，∴
，

同理，点
……8分

∴
…10分

∴MN：
，即

∴直线MN恒过定点
． …12分

21.(Ⅰ)

令
可得
.列表如下: