一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。

(1）复数
的虚部是

(A)
(B)
(C)
(D)

(2) 若向量
，
，则与
共线的向量可以是

（A）
（B）
（C）
（D）

(3）抛物线y＝－2x2的焦点坐标是

（A）（－，0） （B）（－1,0） （C）（0，－
） （D）（0，－
）

(4）曲线y=
在点（1，－1）处的切线方程为

（A）y=x－2 (B) y=－3x＋2 (C)y=2x－3 (D)y= －2x＋1

(5) 下列4个命题

其中的真命题是

（A）
（ B）
（C）
（D）

(6）在等比数列
中

则

（A）
(B)2 (C)
(D)8

(7) 在区间【一，】内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数
有零点的概率为

(A)l一
(B)1一
(c)1一
(D)l一

（8）已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组
，则
的最大值等于

（A）
（B）
（C）
（D）

(9) 某工厂对一批产品进行了抽样检测，其中产品净重的范围是

[96，106]，其频率分布直方图如图所示，已知样本中产品净

重小于100克的个数是30，则样本中净重大于或等于98克

并且小于104克的产品的个数是

(A)20 (B)45

(C)60 (D)75

(10) 直线
与椭圆
（
）交于
两点，以线段
为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆的离心率为

(A)
(B)

(C)
(D)

（11）根据如图所示程序框图，若输入
，
，

则输出m的值为

（A）1 （B）37

（C）148 （D）333

(12) 已知函数
，若方程

有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为

（A）
（B）

（C）
（D）

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

(13) 设f(x)是定义在R上最小正周期为
的函数，当x∈
时f(x)=sinx ，

的值为

14、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，

则这个几何体的外接球的表面积为

15、设向量a＝(4sin α，3)，b＝(2，3cos α)，且a∥b，则锐角α为________．

16. 在抛物线C：y＝2x2上有一点P，若它到点A(1，3)的距离与它到抛物线C的焦点的距离之和最小，则点P的坐标是________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）请在以下两个小题中任选一题

①在数列{an}中，a1＝，点(an，an＋1)在直线y＝x＋上．

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；　　 (Ⅱ)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

②已知△ABC的三边a,b,c成等比数列，且sinB＝.

（I）求
的值；

（II）若
求
的值.

（18）（本小题满分12分）

如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.

(Ⅰ)证明：平面ADB⊥平面BDC；

(Ⅱ)若BD＝1，求三棱锥D－ABC的表面积．

（19）(本小题满分12分)

男



女









8

16

5

8

9









8

7

6

17

2

3

5

5

6





7

4

2

18

0

1

2













1

19

0











第30届夏季奥运会将于2012年7月27日在伦敦举行，当地某学校招募了8名男志愿者和12名女志愿者。将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）：若身高在180cm以上（包括180cm）定义为“高个子”，身高在180cm以下（不包括180cm）定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”。

（I）求女志愿者的平均身高和中位数。

（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？

(20)(本小题满分12分）

中心在原点O,焦点F1、F2在x轴上的椭圆E经过点C(2, 2),且·＝2

(I )求椭圆E的方程；

(II)垂直于OC的直线
与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求直线
的方程和圆P的方程.

(21)(本小题满分12分）

已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若
对定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）证明：对于任意正整数
，不等式
恒成立.

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲

如图，在△ABC中，BC边上的点D满足BD=2DC，以BD为直径作圆O恰与CA相切于点A，过点B作BE⊥CA于点E，BE交圆D于点F．

（I） 求∠ABC的度数：

（II）求证：BD=4EF．

23．（本小题满分10分）选修
：坐标系与参数方程

直角坐标系
和极坐标系
的原点与极点重合，轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为
为参数）

（I）在极坐标系下，曲线C与射线
和射线
分别交于A，B两点，求
的面积；

（II）在直角坐标系下，直线
的参数方程为
（为参数），求曲线C与直线
的交点坐标。

24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲

设f（x）= |x| ＋2|x－a|（a＞0）．

（I）当a=l时，解不等式f（x）≤4；

（II）若f（x）≥4恒成立，求实数a的取值范围

参考答案

1.【A】. 2【D】. 3【C】 4. 【A】5. 【C】 6. 【D】
7. 【D】8【B】画出可行域，不妨取A(1,2),B(2,1),由cos＜
＞＝

9. 【D】10【C】设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，由题意可得：O F2=OA=OB=O F1=c，又
得
,
．∴
，
．由椭圆定义知，
,∴
，
．

11【B】12【D】画出图象

(17) (Ⅰ)由已知得an＋1＝an＋，即an＋1－an＝.

所以数列{an}是以为首项，为公差的等差数列，…………………………4分

即an＝＋(n－1)＝.……………………………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得bn＝＝，即bn＝4[－]，………………10分

所以Tn＝4＝4[1－]＝.……………………12分

（18） (Ⅰ)因为折起前AD是BC边上的高．

所以当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，…………………………3分

又DB∩DC＝D，所以AD⊥平面BDC，因为AD?平面ABD，

所以平面ABD⊥平面BDC. ……………………………………………………6分

(2)由(1)知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA，

因为DB＝DA＝DC＝1，

所以AB＝BC＝CA＝，……………………………………………………9分

从而S△DAB＝S△DBC＝S△DCA＝
×1×1＝
， S△ABC＝
×
×
×
＝
，

所以三棱锥D－ABC的表面积S＝
×3＋
＝
.……………12分

19解：（Ⅰ）根据茎叶图，有“高个子”8人，“非高个子”12人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是
，所以选中的“高个子”有
人，“非高个子”有
人．………….…3分

用事件表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件
表示“没有一名“高个子”被选中”，　则

．因此，至少有一人是“高个子”的概率是
…6分

（20）解：（Ⅰ）设椭圆E的方程为＋＝1（a＞b＞0），则＋＝1， ① …1分

记c＝，不妨设F1(－c，0)，F2(c，0)，则

＝(－c－2，－2)，＝(c－2，－2)，则·＝8－c2＝2，c2＝6，

即a2－b2＝6． ②

由①、②得a2＝12，b2＝6．所以椭圆E的方程为＋＝1． …4分

（也可通过2a＝||＋||求出a）

（Ⅱ）依题意，直线OC斜率为1，由此设直线l的方程为y＝－x＋m，

代入椭圆E方程，得3x2－4mx＋2m2－12＝0．

由Δ＝16m2－12(2m2－12)＝8(18－m2)，得m2＜18．

记A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝． …6分

圆P的圆心为(，)，半径r＝|x1－x2|＝

当圆P与y轴相切时，r＝||，则2x1x2＝，

即＝，m2＝9＜18． …9分

当m＝3时，直线l方程为y＝－x＋3，

此时，x1＋x2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆P的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4；

同理，当m＝－3时，直线l方程为y＝－x－3，圆P的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝4．

21.解：
。

（Ⅰ）当
时，若
，则
，若
，则
，故此时函数
的单调递减区间是
，单调递增区间是
；

当
时，
的变化情况如下表：





























单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增



所以函数
的单调递增区间是
，单调递减区间是
；

当
时，
，函数
的单调递增区间是
；

当
时，同
可得，函数
的单调递增区间是
，单调递减区间是

（Ⅱ）由于
，显然当
时，
，此时
对定义域每的任意不是恒成立的，

当
时，根据（1），函数
在区间
的极小值、也是最小值即是
，此时只要
即可，解得
，故得实数的取值范围是

（Ⅲ）当
时，
，等号当且仅当
成立，这个不等式即
，当
时，可以变换为
，

在上面不等式中分别令
，

所以

22）解：（Ⅰ）连结OA、AD．∵AC是圆O的切线，OA＝OB，

∴OA⊥AC，∠OAB＝∠OBA＝∠DAC， …2分

又AD是Rt△OAC斜边上的中线，∴AD＝OD＝DC＝OA，

∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60(，

故∠ABC＝∠AOD＝30(． …5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，在Rt△AEB中，∠EAB＝∠ADB＝60(，

∴EA＝AB＝×BD＝BD，

EB＝AB＝×BD＝BD， …7分

由切割线定理，得EA2＝EF×EB，

∴BD2＝EF×BD，∴BD＝4EF． …10分

（23）解：（Ⅰ）曲线C在直角坐标系下的普通方程为＋＝1，

将其化为极坐标方程为＋＝1，

分别代入θ＝和θ＝－，得|OA|2＝|OB|2＝，

因∠AOB＝，故△AOB的面积S＝|OA||OB|＝． …5分

（Ⅱ）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，得(t－2)2＝0，

∴t＝2，代入l的参数方程，得x＝2，y＝，

所以曲线C与直线l的交点坐标为(2，)． …10分

（24）解：（Ⅰ）f(x)＝|x|＋2|x－1|＝ …2分

画出图象，由2－3x＝4，得x＝－；由3x－2≤4，得x＝2．

所以不等式f(x)≤4的解集为[－， 2]． …5分

（Ⅱ）f(x)＝|x|＋2|x－a|＝ …7分

可见，f(x)在(－∞，a]单调递减，在(a，＋∞)单调递增．

当x＝a时，f(x)取最小值a．所以，a取值范围为[4，＋∞)． …10分