1．已知为虚数单位，则复数
( )

A.
B. C. D.

2．设全集
，集合
，
，则图中的阴影部分表示的集合为

A．
B．

C．
D．

3．已知条件：
，条件：
，则
是的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

4．如果数列
，
，
，…，
，…是首项为，

公比为
的等比数列，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

5．执行右边的程序框图,输出的结果是,则①处应填入的条件是( )

A.

B.

C.

D.

6．右图是2012年在某大学自主招生考试的面试中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 （ ）

A．
B．
C．
D．

7．设 ，且
，
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．
或

8．已知实数, ,
构成一个等比数列,则圆锥曲线
的离心率为( )

A．
B.
C．
D.

9．设定义在上的函数
，若关于的方程
有3个不同实数解
、
、
，且
，则下列说法中错误的是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知函数
，若
互不相等，且
，则
的取值范围是( )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本题共5个小题，每小题5分，共25分，请把正确答案填在题中横线上）

11．若
满足条件
，则目标函数
的最

大值是 ．]

12．如右图，在直角梯形
中，
，
，

，
，点
是梯形
内（包括边界）的

一个动点，点
是
边的中点，则
的最大值是____．

13．若某几何体的三视图（单位：
）如图所示，则此几何体的

体积是
．

14．已知数列
是等比数列，
是其前项和．若
，

且
与
的等差中项为
，则
．

15．选做题（请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按做的第一题评阅计分）

（1）（极坐标与参数方程）在直角坐标系
中，圆
的参数方程为

为参数，
．以
为极点，轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
．当圆
上的点到直线
的最大距离为时，圆的半径
．

（2）（不等式）对于任意实数，不等式
恒成立时，若实数的最大值为3，则实数的值为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）

16．（本小题12分）在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且

(Ⅰ)求
的值;

(Ⅱ)若
,且
,求
的值.

17．（本小题12分）为丰富高三学生的课余生活，提升班级的凝聚力，某校高三年级6个班（含甲、乙）举行唱歌比赛．比赛通过随机抽签方式决定出场顺序．

求：（1）甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；

（2）比赛中甲、乙两班之间的班级数记为
，求
的分布列和数学期望．

19．（本小题12分）已知函数
．

(1)证明函数
的图像关于点
对称;

（2）若
，求
；

（3）在（2）的条件下，若

，
为数列
的前项和，若
对一切
都成立，试求实数的取值范围．

20．（本小题13分）已知中心在坐标原点焦点在轴上的椭圆C,其长轴长等于4,离心率为
．

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;

(Ⅱ)若点 (0,1), 问是否存在直线
与椭圆交于
两点,且
？若存在,求出的取值范围,若不存在,请说明理由.

21．（本小题14分）已知函数
.

（1）若
在
上的最大值为
，求实数
的值；

（2）若对任意
，都有
恒成立，求实数的取值范围；

（3）在（1）的条件下，设
，对任意给定的正实数，曲线
上是否存在两点、
，使得
是以
（
为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由。

数学答案及评分标准

一、选择题

1．D 2．B 3．A 4．A 5．A 6．C 7．A 8．B 9．C 10．C

二、填空题

11． 12 12． 6 13．
14． 31 15．（1） 1 ；（2）或

三、解答题

17．解：（1）设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件，则

所以 甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为
………………………………4分

（2）随机变量的可能取值为
.

，
，
，

……………………10分

随机变量
的分布列为：

0

1

2

3

4

















因此
，

即随机变量的数学期望为
. …………………………12分

18．（本小题满分12分）

如图所示，在四面体
中，
，
，
两两互相垂直，且
．

（1）求证：平面
平面
；

（2）求二面角
的大小；

（3）若直线
与平面
所成的角为
，求线段
的长度．

【解析】 （1）∵
，
，

∴
平面
．

又
平面
，

∴ 平面
平面
． …… …… …… …… …… …… 4分

（2）∵
，
，∴
平面
．

∴
．

∴
是二面角
的平面角． …… …… …… …… …… …… 6分

在
中，∵
，∴
．

∴ 二面角
的大小为
． …… …… …… …… …… …… 8分

19．（1） 证明：因为函数
的定义域为
， 设
、
是函数
图像上的两点, 其中
且
,

则有

因此函数图像关于点
对称 ……………………………………4分

（2）由（1）知当
时，

①
②

①+②得
………………………………………………………………8分

（3）当
时，

当
时，
，

当
时，
…
=

∴
（
）

又
对一切
都成立，即
恒成立

∴
恒成立，又设
,
所以
在
上递减,所以
在
处取得最大值

∴
，即

所以
的取值范围是
………………12分

(Ⅱ)假设存在这样的直线
,设
,
的中点为

因为
所以
所以
………①

(i)其中若
时,则
,显然直线
符合题意;

(ii)下面仅考虑
情形:

由
,得
,

,得
……② …………………………7分

则
．………………………………………8分

代入①式得,即
,解得
………………………………………11分

代入②式得
,得
．

综上(i)(ii)可知,存在这样的直线,其斜率的取值范围是
…………………………13分

21．解：（1）由
，得
，

令
，得
或
．

列表如下：





0















0



0











极小值



极大值







∵
，
，
，

即最大值为
，
．………………………………………………4分

（2）由
，得
．

，且等号不能同时取，
，

恒成立，即
．

令
，求导得，
，

当
时，
，从而
，

在
上为增函数，
，
．………………………………8分

①若
时，方程
为
，化简得
，

此方程无解； ………………………………………………………………………11分

②若
时，
方程为
，即
，

设
，则
，

显然，当
时，
，即
在
上为增函数，

的值域为
，即
，

当
时，方程