太 原 五 中

2012—2013学年度第二学期月考(5月28日)

高 三 数 学(文)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.定义
，已知
。则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2．如图在复平面内，复数
对应的向量分别是

则复数
的值是( )

A．
B．
C．
D．

3. 下列命题中的假命题是( )

A.
B.

C.
D.

4.设为实数，函数
的导函数为
，且
是偶函数, 则曲线：
在原点处的切线方程为( )

A.
B.
C.
D.

5.下列命题正确的是（ ）

A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

6.下图是用模拟方法估计圆周率的程序框图,表示估计结果,则图中空白框内应填入( )

A.
B.
C.
D.

7. 过原点的直线与圆
有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是( )

A.
B.
C.
D.

8．过双曲线
左焦点
的直线与以右焦点
为圆心、
为半径的圆相切于A点，且
，则双曲线的离心率为( )

A．
B． C．
D．

9．已知函数
，为了得到函数
的图象，只需要将
的图象( )

A.向右平移
个单位长度 B.向左平移
个单位长度

C.向右平移
个单位长度 D.向左平移
个单位长度

10．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正

三角形，则这个几何体的外接球的表面积为 ( )

A．
B．
C．
D．

11．已知两个等差数列
和
的前n项和分别为
和
，且
，则使得
为整数的正整数n的个数是（ ）

A．5　　 B． 4　　 　C． 3　 　D． 2

12．已知函数
（
）定义域为
，则
的图像不可能是（ ）

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13. 若向量
，且
，则锐角的大小是

14. 已知
满足约束条件
，且
恒成立，则的取值范围为

15. 记等比数列
的前项的积为
,已知
，且

，则得值为

16．已知
＝2·
，
＝3·
,
＝4·
,….

若
＝8·
（
均为正实数），类比以上等式，可推测
的值，

则
＝ .

三、解答题：（本大题共6小题，共70分。）

17. （本小题满分12分）在公比为的等比数列
中，

与
的等差中项是
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若函数
，
，的一部分图像如图所示，
，
为图像上的两点，设
，其中与坐标原点
重合，
，求
的值.

18.（本小题满分12分）2013年，首都北京经历了59年来雾霾天气最多的一个月。经

气象局统计，北京市从1月1日至1月30日这30天里有26天出现雾霾天气。《环境空

气质量指数（AQI）技术规定（试行）》将空气质量指数分为六级：其中，中度污染（四

级），指数为151—200；重度污染（五级），指数为201—300；严重污染（六级），指数

大于300． 下面表1是该观测点记录的4天里，AQI指数
与当天的空气水平可见度

（千米）的情况，

表2是某气象观测点记录的北京1月1日到1月30日AQI指数频数统计结果，

表1：AQI指数
与当天的空气水平可见度（千米）情况

AQI指数











空气可见度（千米）













表2：北京1月1日到1月30日AQI指数频数统计

AQI指数













频数

3

6

12

6

3





（Ⅰ）设变量
，根据表1的数据，求出关于的线性回归方程；

（Ⅱ）根据表2估计这30天AQI指数的平均值.

（用最小二乘法求线性回归方程系数公式
，
）

19．（本小题满分12分）如图所示的几何体中，四边形
为矩形，
为直角梯形，且
，平面
平面
，
,
,

(I)若
为
的中点，求证:
平面
;

(II)求原几何体被平面
所分成的左右两部分的体积比.

20．（本小题满分12分）

已知点
是椭圆
上一点,
分别是椭圆的左、右焦点，
是坐标原点，
轴．

（1）求椭圆的方程；

（2）设A，B是椭圆E上两个动点，满足：
求直线AB的斜率。

21. （本小题满分12分）

已知函数
（
，
），
．

（1）求函数
的单调区间,并确定其零点个数；

（2）若
在其定义域内单调递增，求的取值范围；

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号。

22.（本题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲

如图，
是
的一条切线，切点为，直线
，
，
都是
的割线，已知
.

(1)求证：
;

(II)若
,求
的值.

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线
的极坐标方程是
，以极点为原点，极轴为轴正方向建立平面直

角坐标系，直线的参数方程是：
（t为参数）．

（Ⅰ）求曲线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线与曲线
交于，两点，点
的直角坐标为
，若
，求直线的普通方程．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数
．

（Ⅰ）若
，求不等式
的解集；

（Ⅱ）若方程
有三个不同的解，求的取值范围．

高 三 数 学（文）答案

选择题（每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12





B

A

D

B

C

D

C

B

D

C

A

D





二、填空题（每小题5分，共20分）

13．　
;　 14．
； 15 4 ； 16 71；

18．解：（Ⅰ）由
，则
，
，
，
，
，

，

∴
，

∴关于的线性回归方程是
8分

（Ⅱ）这30天AQI指数的平均值

即这30天AQI指数的平均值为480 12分

19．证明：连结
,交
于
,连结
，

在
中，
分别为两腰
的中点,∴
………………3分

因为

所以
平面
. ………………6分

（Ⅱ）由四边形
为矩形，知

又平面
平面
，

三棱锥
的体积为

. …8分

由已知
又平面
平面
，

四棱锥的体积为

.………10分
所以原几何体被平面
所分成的两部分的体积比
. ……12分

20.

21．解：（1）
………………1分

则

… 2分

（i）若
，则当
时，
当
时，

所以
为
的增区间，
为
的减区间. ………3分

极大值为
所以
只有一个零点
.

（ii）若
，则当
时，
；当
时，

所以
为
的减区间，
为
的增区间.

极小值为

所以
只有一个零点
.综上所述，

当
时，
为
的减区间，
为
的增区间，
有且只有一个零点；

当
时，
为
的增区间，
为
的减区间，
有且只有一个零点.……………6分

（2）

…8分

由
在其定义域内单调递增，可知
,
恒成立.

则

恒成立.…………………9分

(法一)由二次函数的图象(开口向上，过定点
)可得
或

…………………………11分

则
或
则
或
得
. 可以验证 当
时
在其定义域
内单调递增故
……12分

(法二)分离变量

因
（当且仅当
，即
时取到等号）

所以
， 则

可以验证 当
时
在其定义域
内单调递增故
…12分

22．解：(Ⅰ)因为
为切线，
为割线，

所以
，

又因为
，所以
．

所以
，又因为
，

所以
∽
，

所以
，又因为
，

所以
，

所以
． ……………………5分

(Ⅱ)由题意可得：
四点共圆，

.
∽
.
.

又
，
=4. ………10分

23解（Ⅰ）由
，得
，∵
，

∴曲线
的直角坐标方程是
，即
4分

（Ⅱ）设
，

由已知
，注意到
是直线参数方程恒过的定点，∴
①

联立直线的参数方程与曲线
的直角坐标方程得：
，

整理得：
， 6分

∴
，
，与①联立得：
，

∴直线的参数方程为
，（为参数）或
，（为参数）. 8分

消去参数得的普通方程为
或
. 10分

24解: （Ⅰ）
时，

，

∴当
时，
不合题意；

当
时，
，解得
；

当
时，
符合题意. 3分

综上，
的解集为
5分

（Ⅱ）设
，
的图象和
的图象如右图： 7分

易知
的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与
的图象始终有3个交点，

从而
. 10分