参考公式：

如果事件
互斥，那么 球的表面积公式

如果事件
相互独立，那么 其中表示球的半径

球的体积公式

如果事件在一次试验中发生的概率是，那么

次独立重复试验中事件恰好发生
次的概率 其中表示球的半径

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.若集合
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2.已知
，
且
则的虚部为（ ）

A.
B.
C.
D.

5.若某程序框图如右下图所示，则该程序运行后输出的a等于 （ ）

A．
B．
C．
D．

6.已知数列
成等差数列，
成等比数列，

则
（ ）

A．
B．
C．
或
D．

7.已知以
为直径的半圆，圆心为
，
为半圆上任意点，在线

段
上，则
的最小值是（ ）

A. B. C.
D.

8.若
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

9.已知抛物线
和点
，为抛物线上的点，则满足
的点有（ ）个。

A.
B. C.
D.

10.定义在上的函数
满足：
，且函数
为奇函数。给出以下3个命题：

①函数
的周期是6； ②函数
的图像关于点
对称；

③函数
的图像关于轴对称。 其中，真命题的个数是（ ）

A.
B. C. D.

11.在一列数
中，已知
，且当
时，
，其中，
表示不超过实数的最大整数（如
）则
（ ）

A. B.
C. D.

12.已知双曲线
，为双曲线
的右焦点，点
,为轴正半轴上的动点。

则
的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为 。

14.已知实数
满足不等式
，若
的最大值与最小值分别为和
，则实数的取值范围是 。

15.四面体ABCD中，
，则四面体ABCD外接球的半径为 。

16.已知不等式
对
恒成立，则
。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分12分）

在△ABC中，
，记
，△ABC的面积为
，且满足
.

（1）求
的取值范围；

（2）求函数
的最大值和最小值.

18. （本小题满分12分）

在一段时间内，某种商品价格（万元）和需求量
之间的一组数据为：

价 格

1.4

1.6

1.8

2

2.2



需求量

12

10

7

5

3





进行相关性检验；

如果与之间具有线性相关关系，求出回归直线方程，并预测当价格定为1.9万元，需求量大约是多少？（精确到0.01）

参考公式及数据：
，
，

相关性检验的临界值表：

n-2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



小概率0.01

1.000

0.990

0.959

0.917

0.874

0.834

0.798

0.765

0.735

0.708





21. （本小题满分12分）

已知函数
，
，
．

（1）若
在
存在极值，求的取值范围；

（2）若
，问是否存在与曲线
和
都相切的直线？若存在，判断有几条？并求出公切线方程，若不存在，说明理由。

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线
是过点
，方向向量为
的直线。圆方程

（1）求直线l的参数方程；

（2）设直线l与圆相交于
、
两点，求
的值。

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知

（1）若不等式的解集为空集，求的范围；

（2）若不等式有解，求的范围。

数学理科参考答案

选择题：

1~5：BDCBB 6~10：ADBAA 11~12：BC

填空题

13.
， 14.
， 15.
， 16.3

解答题

18. 解析：（1）①作统计假设：与不具有线性相关关系。…………………………1分

②由小概率0.01与
在附表中查得：
…………………………2分

③
，

……………3分

……………………4分

………5分

……………………6分

∴

④
，即

从而有99%的把握认为与之间具有线性相关关系，去求回归直线方程是有意义的。………8分

（2）回归系数
，

∴对的回归直线方程是

当
时，
。

这说明当价格定为
万元时，需求量大约为
。………………………………12分

∴二面角
的大小为
………………12分

解2：如图建立空间直角坐标系
，设正方体棱长为4，则

（1）
，

∴

∴
，∴
……………………………………4分

（2）平面
的一个法向量为
……………………6分

设平面
的一个法向量为

∴
即
∴

令
，则
，∴可取

∴
…………………………10分

如图可知，二面角为钝角。∴二面角
的大小为
…………………12分

20. 解析：（1）由题意知：
、

设
，
则

由
即：
得，
……………………3分

则

由
，得
∴
………………………………………6分

21.解析：（Ⅰ） 依题有：
则
在
上有变号零点；

令
，则

当
，则
；当
，则

因此，
在
处取得极小值。………………………………3分

而
，
，

易知，

当存在两个变号零点时，
，可得：

当存在一个变号零点时，
，可得：

综上，当
在
上存在极值时，的范围为：
…………………6分

(Ⅱ)当
时，
，

设直线
与曲线
和
都相切，切点分别为
，

则
，

∴
，即

又
过点
且
，∴
且

∴
，∴

方程
有根；设

则
，易知
为单调增函数

而
，∴
在
上单调递减，
上单调递增。

∴

因此，与曲线
和
都相切的直线存在，有1条。

可知切点
，斜率为

∴切线方程为：
……………………………………………12分

另解：当
时，
，

易知
是
与
的一个公共点。

若有公共切线，则
必为切点，∵
，∴

可知
在
处的切线为

而
，∴
则

可知
在
处的切线也为

因此，存在一条公切线，切线方程为：
。…………………………12分

23.解：（Ⅰ）
的参数方程为
（为参数）……………………5分

（Ⅱ）由

可将
，化简得
。

将直线
的参数方程代入圆方程得

∵
，∴
………………10分

24. 解析：解法一：（1）当
时 ，
，
在
上单调递增，
时取最小值1。若要求不等式无解，则小于或等于该最小值即可.即
；

当
时 ，
，

若要求不等式无解，则
。否则不等式的解集为全集;

当
时，
，
在
区间，不等式左端的函数单调递减.

在
时取最小值 1.若要求不等式无解，则
。

综合以上
. ……………………………………………………5分

（2）当
时，

因为
,所以
;

当
时，

当
时，
，

因为
，所以