哈师大附中2013届高三第四次联合模拟考试数学理试题

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A={x|－l≤x≤3}，集合B=|x|log2x<2}，则A
B=

A．{x|1≤x≤3} B．{x|－1≤x≤3} C．{x| 0

2．若复数z=（a2 +2a －3）+（a－l）i为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值为

A．－3 B．－3或1 C．3或－1 D．1

3．已知向量a，b满足|a|=2, | b|=l，且（a+b）⊥（
），则a与b的夹角为

A．
B．
C．
D．

4．下列关于由最小二乘法求出的回归直线方程
=2－x的说法中，不正确的是

A．变量x与y正相关

B．该回归直线必过样本点中心（
）

C．当x=l时，y的预报值为l

D．当残差平方和
越小时模型拟合的效果越好

5．函数
的图象的大致形状是

6．下列说法中正确的是

A．若pq为真命题，则p，q均为真命题

B．命题“
”的否定是“
”

C．“a≥5”是“
恒成立 “的充要条件

D．在△ABC中，“a>b”是“sinA>sinB”的必要不充分条件

7．右图是甲、乙两名篮球运动员在以往几场篮球赛中得分的茎叶图，设

甲、乙两组数据的平均数分别为
，
，中位数分别为m甲，m乙，则

A．
<
，m甲> m乙 B．
<
，m甲< m乙

C．

，m甲> m乙 D．
>
，m甲< m乙

1 1

8．如图给出的是计算
的值的一个程序框图，则

判断框内应填人的条件是

A．i≤1006 B．i> 1006

C．i≤1007 D．i> 1007

9．函数
的部分图象如图

所示，则

A．

B．

C．

D．

10．双曲线
过其左焦点F1作x轴的垂线交双曲线于A，B两点，若双曲线右顶点在以AB为直径 的圆内，则双曲线离心率的取值范围为

A．（2，+∞） B．（1，2）

C．（
，+∞） D．（1，
）

11．若a>l，设函数f（x）=ax+x －4的零点为m，函数g（x）= logax+x－4的零点为n，则
的最小值为

A．1 B．2 C．4 D．8

12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的xR，都有f（2 +x）=－f（x），且当时x∈

[0，1]时
，则方程
在[－1，5]的所有实根之和为

A．0 B．2 C．4 D．8

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a11=3a6－4，则则Sn= 。

14．在（
的展开式中，x的系数是 。（用数字作答）

15．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 。

16．如图，在矩形ABCD中，AB =2．AD =3，AB中点为E，点F，G分别在线段AD，BC上随机运动，则∠FEG为锐角的概率为 。

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

在△ABC中角，A，B，C所对的边分别为a,b,c，向量m=（cos
，1），n=（一l,sin（A+B）），

且m⊥n．

（ I）求角C的大小；

（Ⅱ）若
·
，且a+b =4，求c．

18．（本小题满分12分）

甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为
，乙队每人答对的概率都是
．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用
表示甲队总得分．

（I）求随机变量
的分布列及其数学期望E（
）；

（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．

19．（本小题满分12分）

几何体EFG —ABCD的面ABCD，ADGE，DCFG均为矩形，AD=DC=l，AE=
。

（I）求证：EF⊥平面GDB；

（Ⅱ）线段DG上是否存在点M使直线BM与平面BEF所成的角为45°，若存在求等￥
的值；若不存在，说明理由．

20．（本小题满分12分）

已知抛物线E:y2= 4x，点P（2，O）．如图所示，直线
．过点P且与抛物线E交于A（xl，y1）、B（ x2，y2）两点，直线
过点P且与抛物线E交于C（x3， y3）、D（x4，y4）两点．过点P作x轴的垂线，与线段AC和BD分别交于点M、N．

（I）求y1y2的值；

（Ⅱ）求讧：|PM|=| PN|．

21．（本小题满分12分）

已知f（x）=1nx－a（x－l），a∈R

（I）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）若x≥1时，
石恒成立，求实数a的取值范围，

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．

22．（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲

如图，AB是⊙O的直径，C、E为⊙O上的点，CA平分∠BAE，CF⊥AB，

F是垂足，CD⊥AE，交AE延长线于D．

（I）求证：DC是⊙O的切线；

（Ⅱ）求证：AF．FB=DE．DA．

23．（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程

已知直线
的参数方程为
为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴

建立极坐标系，圆C的极坐标方程为
．

（I）判断直线
与圆C的位置关系；

（Ⅱ）若点P（x，y）在圆C上，求
x +y的取值范围．

24．（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲

已知函数
。

（ I）当a=－3时，求
的解集；

（Ⅱ）当f（x）定义域为R时，求实数a的取值范围

参考答案

一、选择题

1~16 CAAAB BBCDA AD

二、填空题

13、44 14、
15、4 16、

三、解答题

17、（1）
…………….2’

，…………….4’

且

，
…………….6’

（2）
,又
………..9’

……12’

18、（1）
的可能取值为0，1，2，3

;
;

;
……..4’

0

1

2

3
















的分布列为

……….6’

(2)设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A,“甲队比乙队得分高”为事件B

则
;……..8’

…………..10’

…………….12’

19、（1）由已知有
面
,
面
，

连结
，在正方形
中，
,
面
，
面
,

且
,

为平行四边行，
,………4’

,
面
……..6’

另解：空间向量略

(2)分别以
为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，令
,

,

令
为平面
的一个法向量，
，令
，……8’

，
，

，
或
，
…….10’

存在
此时
……..12’

20.(1)令直线

，
……..6’

（2）直线
，即

当
时
，……….8’

同理
，

………….12’

①当
时，
，即
在
上单调递减，

∴当
时，
与
恒成立矛盾． ……8′

②当
时，对于方程
（*），

（ⅰ）
，即
时，
，即
在
上单调递增，

∴
符合题意． ……10′

（ⅱ）
，即
时，方程（*）有两个不等实根
，不妨设
，则
，

当
时，
，即
递减，∴
与
恒成立矛盾．

综上，实数的取值范围为
． ……12′

另解：
时，
恒成立，

当
时，上式显然成立；当
时，
恒成立．

设
，可证
在
上单调递减（需证明），

又由洛必达法则知，
，∴
．

故，
．

22.(1)连结
,
,

,

为圆
的切线………….5’

（2）
与
全等，
,

………….10’

23.(1)直线
，圆
，圆心
到直线的距离
，相交…………5’

（2）令
为参数）

，
的取值范围是
……….10’

24、（1）
时，

①当
时

②当
时
，不成立

③当
时

综上，不等式的解集为
………….5’

（2）即
恒成立，
，当且仅当
时取等，
…………..10’