第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1、命题“存在
R，
0”的否定是 （ ）

（A）不存在
R,
>0 （B）存在
R,
0

（C）对任意的
R,
0 （D）对任意的
R,
>0

2．在复平面内，复数
的对应点是
，
的对应点是
，则
（ ）

（A） （B） （C）
（D）

3.若
，则实数的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

4已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，

则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

5执行如图所示的程序框图．若输出的结果是
，则判断框内的条件是（ ）

A.
? B.
? C.
? D.
?

6．已知函数
的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）

(A)

(B)

(C)

(D)

7. 有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定.技术人员对它们

进行一一测试， 直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次

就结束测试的方法种数是（ ）

A.
B.
C.
D.

8、已知︱
︱=1，︱
︱=
,
=0,点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设
=m
+n
(m、n∈ R)，则
的值为( )

A
B 1 C 3 D 不确定

9．动圆C经过点F(1,0)，并且与直线x=-1相切，若动圆C与直线
总有公共点，则圆C的面积（ ）

(A) 有最大值8 (B) 有最小值2 (C) 有最小值3 (D) 有最小值4

10、函数
的图像关于直线
对称。据此可推测，对任意的非零实数
关于x的方程
的解集都不可能是( )

(A)
(B)
(C)
(D)

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．(其中第15题为选做题,如果两个都做,以第一个计分)

11.
的展开式中
项的系数是______．（用数字作答）

12.将一个质点随机投放在关于
的不等式组
所构成的三角形区域内，该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于的概率是　 　．

13.已知函数
若函数
有两个不同的零点，则实数
的取值范围是 .

14. 在数列
中，若对任意的
，都有
（为常数），则称数列
为比等差数列，称为比公差．现给出以下命题：

①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；

②若数列
满足
，则数列
是比等差数列，且比公差
；

③若数列
满足
，
，
（
），则该数列不是比等差数列；

④若
是等差数列，
是等比数列，则数列
是比等差数列．

其中所有真命题的序号是________．

15(1)若直线
与圆
（
为参数）相交于，两点，且弦
的中点坐标是
，则直线
的倾斜角为 ．

(2) 已知正数
满足
，
，则的最大值是

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

(16)（本小题满分12分）

期末考试结束后，随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数学与物理成绩，如下表：

学生













数学

89

91

93

95

97



物理

87

89

89

92

93



分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩哪科更稳定。

从4名数学成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动，以X表示选中同学的物理成绩高于90分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)的值．

17．（本小题满分12分）

如图，在直角坐标系
中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且
．将角的终边按逆时针方向旋转
，交单位圆于点．记
．

（Ⅰ）若
，求
；

（Ⅱ）分别过
作轴的垂线，垂足依次为
．记△
的面积为
，△
的面积为
．若
，求角的值．

18（本小题满分12分）

如图，四边形
是正方形，
平面
，

，
，，
，
分别为
，
，
的中点．

（Ⅰ）求证：

平面
；

（Ⅱ）求平面
与平面
所成锐二面角的大小；

（Ⅲ）在线段
上是否存在一点
,使直线
与直线
所成的角为
？若存在，求出线段
的长；若不存在，请说明理由.

19. （本题12分）已知函数
，
.

(Ⅰ)若曲线
在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b的值；

(Ⅱ)当
，且ab=8时，求函数
的单调区间，并讨论函数在区间[-2，-1]上的最小值.

20（本小题共13分）

已知椭圆：
（
）的离心率
，原点到过点
，
的直线的距离是
． ⑴ 求椭圆的方程；

⑵ 若椭圆上一动点
关于直线
的对称点为
，求
的取值范围．

⑶ 如果直线
（
）交椭圆于不同的两点，，且，都在以为圆心的圆上，求的值．

21.（本小题满分14分）

已知集合
是正整数
的一个排列
，函数
,对于
，定义：

，
，称
为
的满意指数．排列
为排列
的生成列；排列
为排列
的母列．

（Ⅰ）当
时，写出排列
的生成列及排列
的母列；

（Ⅱ）证明：若
和
为
中两个不同排列，则它们的生成列也不同；

（Ⅲ）对于
中的排列
，定义变换：将排列
从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换将排列
变换为各项满意指数均为非负数的排列．

白鹭洲中学2013届高三适应考试数学试题(理)

参考答案

因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定.

（Ⅱ）由题意可知，
，，

随机变量的分布列是

X

0

1

2



P（X）











17．（本小题满分12分）

（Ⅰ）解：由三角函数定义，

得
，
． ………………2分

因为
，
，

所以
． ………………3分

所以
． ………………5分

（Ⅱ）解：依题意得
，
．

所以
， ………………7分

． ……………9分

依题意得
， 整理得
． …11分

因为
， 所以
，所以
， 即
．…12分

（18）（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：因为,
分别为
，
的中点，

所以


.

又
平面
，
平面
，

所以

平面
. …………4分

（Ⅱ）因为
平面
，

，

所以
平面
，

所以
，
.

又因为四边形
是正方形，

所以
.

如图，建立空间直角坐标系，

因为
,

所以
，
，
，

，
，
．

…………5分

因为，
，
分别为
，
，
的中点，

所以
，

，

. 所以
，
.

设
为平面
的一个法向量，则
,即
，

再令
，得
.
,
.

设
为平面
的一个法向量,则
,

即
，令
，得
.

所以
=
=
.

所以平面
与平面
所成锐二面角的大小为
. …………8分

（Ⅲ）假设在线段
上存在一点
,使直线
与直线
所成角为
.

依题意可设
,其中
.

由
,则
.

又因为
,
，所以
.

因为直线
与直线
所成角为
，
，

所以
=
，即
，解得
.

所以
，
.

所以在线段
上存在一点
,使直线
与直线
所成角为
，此时
.

………………………………………12分

19. （本题12分）

解：(Ⅰ)函数h(x)定义域为{x|x≠-a}，…………1分

则
， …………………………………………………3分

h(x)在点（1，0）处的切线斜率为0，

即
,解得
或
……………………5分

(Ⅱ)记 (x)=
，则 (x)=(x+a)(bx2+3x)(x≠-a),

ab=8，所以
，
(x≠-a),

,

令
，得
，或
, ……………………………7分

因为
，所以
，

故当
，或
时，
，当
时，
，

函数 (x)的单调递增区间为
，

单调递减区间为
, …………………………………………9分

,
,
，

当
，即
时, (x)在[-2,-1]单调递增,

(x)在该区间的最小值为
， ………………………………………10分

当
时,即
,

(x)在[-2,

单调递减, 在
单调递增，

(x)在该区间的最小值为

，………………………………………………11分

③当
时,即
时,

(x)在[-2,-1]单调递减, (x)在该区间的最小值为
，………12分

综上所述，当
时，最小值为
；当
时，最小值为
；当
时，最小值为
. （不综述者不扣分）

20（本小题共13分）

解: (Ⅰ)因为
，
，

所以
．

因为原点到直线
：
的距离
，

解得
，
．

故所求椭圆的方程为
．

(Ⅱ)因为点
关于直线
的对称点为
，

所以

解得
，
．

所以
．

因为点
在椭圆:
上，

所以
．

因为
， 所以
．

所以
的取值范围为
．

(Ⅲ)由题意

消去，整理得

．

可知
．

设
，
，
的中点是
，

则
，
．

所以
．

所以
．

即
．

又因为
，

所以
．所以
．

21.（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：当
时，排列
的生成列为
； ………………2分

排列
的母列为
． ………………4分

（Ⅱ）证明：设
的生成列是
；
的生成列是与
．

从右往左数，设排列
与
第一个不同的项为
与
，即：
，
，
，
，
．

显然
，
，
，
，下面证明：
． ………………6分

由满意指数的定义知，
的满意指数为排列
中前
项中比
小的项的个数减去比
大的项的个数．

由于排列
的前
项各不相同，设这
项中有
项比
小，则有
项比
大，从而
．

同理，设排列
中有
项比
小，则有
项比
大，从而
．

因为
与
是
个不同数的两个不同排列，且
，

所以
， 从而
．

所以排列
和
的生成列也不同． ………………9分

（Ⅲ）证明：设排列
的生成列为
，且
为
中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以
． ………………10分

进行一次变换后，排列
变换为
，设该排列的生成列为
．

所以

． ………………12分

因此，经过一次变换后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加．

因为
的满意指数
，其中
，

所以，整个排列的各项满意指数之和不超过
，

即整个排列的各项满意指数之和为有限数，

所以经过有限次变换后，一定会使各项的满意指数均为非负数． ………………14分