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第三十一讲：综合试卷

1、不等式
的解集为
。

2、已知向量
，
，则向量
与
的夹角为
。

3、函数
图像的顶点是
，且
成等比数列，则

。

4、 在
中，若
，则
的形状是
。

5、已知点
、
，动点
满足
. 当点P的纵坐标是
时，点P到坐标原点的距离是
。

6、函数
为奇函数，则实数

。

7、与两坐标轴都相切，且过点（2，1）的圆的方程为
。

8、数列
中，
，则数列
的前
项和
为
。

9、对于函数
，在
上为增函数，则
的取值范围是
。

10、已知两个等差数列
和
的前
项和分别为A
和
，且
，则使得
为整数的正整数
的个数是
。

11、 如图，平行四边形
的两条对角线相交于点
，点
是
的中点. 若
，
，且
，则

。

12、若函数
和它的反函数的图像与函数y=
的图像分别交于点A、B，若|AB|=
，则
约等于
(精确到0.1)。

13、已知
均为第二象限角，且
，则必有 （ C ）

(A)
(B)
(C)
(D)

14、已知公比为
的等比数列
，若
，则数列
是 （ A ）

A．公比为
的等比数列 B．公比为
的等比数列 C．公差为
的等差数列 D．公差为
的等差数列

15、函数
为增函数的区间是 （ C ）

A.
B.
C.
D.

16、已知△
的三个顶点的
、
、
及平面内一点
满足
，下列结论中正确的是（ D ）

（A）
在△
内部（B）
在△
外部（C）
在
边所在直线上（D）
是
边的三等分点

17、在极坐标系中，圆心坐标是
（
），半径为
的圆的极坐标方程是 （ A ）

A．
（
）．　B．
（
）．

C．
（
）． D．
（
）．

18、已知正三棱柱
的侧棱长为2，底面边长为1，
是
的中点。(1)求异面直线
与
的夹角；(2)在直线
上求一点
，使得
⊥
。

19、已知函数
(
，
)为偶函数，且其图像上相邻的一个最高点和最低点之间距离为
。（1）求
的解析式；（2）若
，求
的值。

解析：⑴设最高点为
，相邻的最低点为
，则|x1–x2|=

∴
，∴
，∴
，∴
， ∵
是偶函数，∴
，
.∵
，∴
，∴
；

⑵∵
，∴
，∴原式
。

20、一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．

　　（1）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；

　　（2）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；

（3）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差。

解析：（1）记“摸出两个球，两球恰好颜色不同”为A，摸出两个球共有方法
种，其中，两球一白一黑有
种． ∴　
．（2）

（3）设摸得白球的个数为
，依题意得

则
，

21、已知
为纯虚数，
；

（1）在复平面中，求复数
对应的点
的轨迹方程；

（2）在点
的轨迹上是否存在关于直线
对称的两点？若存在，试确定实数
的取值范围；若不存在，请说明理由。

22、已知数列
和
满足：
，
，
，

其中
为实数，
.

⑴ 对任意实数
，证明数列
不是等比数列；

⑵ 证明：当
，数列
是等比数列；

⑶设
为数列
的前
项和，是否存在实数
，使得对任意正整数
，都有
？

若存在，求
的取值范围；若不存在，说明理由.

【解析】⑴证明：假设存在一个实数
，使
是等比数列，则有
，

即
矛盾.

所以
不是等比数列. ⑵ 解：因为

又
，所以，当
时，由上可知
，

此时
是以
为首项，
为公比的等比数列.

⑶当
时，由⑵得
，于是

，当
时，
，从而
上式仍成立.要使对任意正整数n , 都有
.即

令
，则
当n为正奇数时，
；当n为正偶数时，
.

的最大值为
于是可得
.

综上所述，存在实数
，使得对任意正整数
，都有
，
的取值范围为
。