2013届高考模拟试题

数学（理工类）

本试卷共6页，共22题，其中第15、16题为选考题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方块涂黑。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。

3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试卷、草稿纸上无效。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号答在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑。考生应该根据直接的选做的题目准确填涂题号，不得多选,答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 ，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．对于数集A, B, 定义A+B={x|x=a+b, a∈A, b∈B）, A÷B={x|x=
,
, 若集合A={1, 2}, 则集 合（A+A）÷A中所有元素之和为（　 ）

A.
B.
C．
D．

2．某车间为了规定工时定额, 需要确定加工零件所花费的时间, 为此进行了5次试验, 收集数

据如下：

加工零件数x(个)

10

20

30

40

50



加工时间y(分钟)

64

69

75

82

90



经检验, 这组样本数据具有线性相关关系, 那么对于加工零件的个数x与加工时间y这两个

变量, 下列判断正确的是（ ）

A．成正相关, 其回归直线经过点（30, 76） B．成正相关, 其回归直线经过点（30, 75）

C．成负正相关, 其回归直线经过点（30, 76） D．成负相关, 其回归直线经过点（30, 75）

3．“a=2”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4. 画在同一坐标系内的曲线
的交点坐标是（ )

A.
B.

C.
D.

5.一个多面体的直观图和三视图如图所示, M是AB的中点.一只小蜜蜂在几何体ADF—BCE内自由飞翔, 则它飞入几何体F—AMCD内的概率为( )

A.
B.
C.
D.

6. 一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为a, 与对手踢平（得1分）的概率为b负于对手（得0分）的概率为
.已知该足球队进行一场比赛得分的期望是1, 则
的最小值为（ ）

A.
B.
C.
D.

7. 函数
的图象与轴所围成的封闭图形的面积为 （　 ）

A.
B.1 C.4 D.

8. 等差数列
的前n项和为
, 公差为d, 已知

, 则下列结论正确的是 （ ）

A．
B．

C．
D．

9．如图, 在等腰梯形ABCD中, AB//CD, 且AB=2CD, 设

∠DAB=
,
∈（0,
）, 以A, B为焦点且过点D的

双曲线的离心率为e1, 以C, D为焦点且过点A的椭圆

的离心率为e2, 设

的大致图像是 （ ）

10．某学生在复习指数函数的图象时发现：在y轴左边, y=3x与y=2x的图象均以x轴负半轴为渐近线, 当x=0时, 两图象交于点（0, 1）．这说明在y轴的左边y=3x与y=2x的图象从左到右开始时几乎一样, 后来y=2x的图象变化加快使得y=2x与y=3x的图象逐渐远离, 而当x经过某一值x0以后 y= 3x的图象变化加快使得y=2x与y=3x的图象又逐渐接近, 直到x=0时两图象交于点（0, 1）．那么x0=（ ）

A．
B．
C．
D．

填空题：本大题共5小题,每小题5分, 共25分.

(一)必考题（11－14题）

11. 若
_______.

12. 执行如图所示的程序框图, 若输入a的值为2, 则输出的p值是 .

13. 给出下列命题：

①在锐角
；

②函数
图象关于点
对称；

③在
, 则
必为等边三角形；

④在同一坐标系中, 函数
的图象和函数
的图象有三个公共点.

其中正确命题的序号是______（写出所有正确命题的序号）.

14．观察下面两个推理过程及结论：

(1) 若锐角A, B, C满足A+B+C=, 以角A, B, C分别为内角构造一个三角形, 依据正弦定理和余弦定理可得到等式：

(2) 若锐角A, B, C满足A+B+C=, 则
=, 以

分别为内角构造一个三角形, 依据正弦定理和余弦定理可以

得到的等式：
则：若锐角A, B, C满

足A+B+C=, 类比上面推理方法, 可以得到一个等式是 .

(二)选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答）

15．如图, 已知圆O的半径为3, AB与圆D相切于A, BO与圆O相

交于C, BC =2, 则△ABC的面积为 .

16．在直角坐标系xOy中, 以原点为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 记为极径,
为极角, 圆C: =3 cos
的圆心C到直线
:cos
=2的距离为 .

三、解答题

17. 如图, 已知单位圆上有四点
, 分别设
的面积为
.

(1)用
表示
；

(2)求
的最大值及取最大值时的值.

18. 已知数列
为等比数列, 其前项和为
, 已知
, 且对于任意的
有
,
,
成等差；

(1) 求数列
的通项公式；

(2) 已知
（
）, 记
, 若

对于
恒成立, 求实数的范围.

19. 第30届夏季奥运会将于2012年7月27日在伦敦举行, 当地某学校招募了8名男志愿者和12名女志愿者. 将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位:cm):

若身高在180cm以上(包括180cm)定义为“高个子”, 身高在180cm以下(不包括180cm)定义为“非高个子”, 且只有“女高个子”才能担任“礼仪小组”.

(1) 如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人, 再从这5人中选2人, 那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?

(2) 若从所有“高个子”中选3名志愿者, 用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小组”的人数, 试写出X的分布列, 并求X的数学期望.

20.　如图, 平面
平面
,
是以
为斜边的等腰直角三角形,
分别为
,
,
的中点,
,
．

　 (1) 设
是
的中点, 证明：
平面
；

(2) 证明：在
内存在一点
, 使
平面
, 并求点
到
,
的距离．

21. 若椭圆C：的离心率e为
, 且椭圆C的一个焦点与抛物线y2＝－12x的焦点重合．

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 设点M(2,0), 点Q是椭圆上一点, 当|MQ|最小时, 试求点Q的坐标；

(3) 设P(m,0)为椭圆C长轴（含端点）上的一个动点, 过P点斜率为k的直线l交椭圆与

A,B两点, 若|PA|2＋|PB|2的值仅依赖于k而与m无关, 求k的值．

22. 已知函数
.

　 (1) 试判断函数
在

上单调性并证明你的结论；

(2) 若
恒成立, 求整数的最大值；

(3) 求证：
.

2013届高考模拟试题

数学（理工类）参考答案

A卷

一、选择题：

1－5 CDAAC 6－10 ACCDB

B卷

一、选择题：

1－5 CDBBC 6－10 ACCDB

二．填空题：本大题共5小题,每小题5分, 共25分.

(一)必考题（11－14题）

11. 2 12． 4 13.

(二)选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答）

15.
16.

三.解答题

17. 解(1)根据三角函数的定义, 知

所以
, 所

.----------3分

又因为
四边形OABC的面积＝

,

所以
.---------------6分

(2)由(1)知
.-----------9分

因为
, 所以
, 所以
,

所以
的最大值为
, 此时的值为
. -------------12分

18.

（Ⅱ）
,

-------------8分

---------12分

19.

证明：

（I）如图, 连结OP, 以O为坐标原点, 分别以OB、OC、　　　　　OP所在直线为轴,轴,轴, 建立空间直角　　　　　坐标系O
,

　　　　　　

, -------------2分

由题意得,
因
,

因此平面BOE的法向量为
, --------4分

得
, 又直线
不在平面
内,

因此有
平面
--------6分

（II）设点M的坐标为
, 则
, 因为
平面BOE, 所以有
, 因此有
, 即点M的坐标为
, -----------9分

在平面直角坐标系
中,
的内部区域满足不等式组
, 经检验, 点M的坐标满足上述不等式组, 所以在
内存在一点
, 使
平面
, --------11分

由点M的坐标得点
到
,
的距离为
． -------12分

21.　解：（1）∵依题意a=5,c=3∴椭圆C的方程为： ························2( （2）设Q(x,y), －5≤x≤5∴|MQ|2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋16－x2＝x2－4x＋20∵对称轴x＝＞5∴当x＝5时, |MQ|2达到最小值, ∴当|MQ|最小时, Q的坐标为(5,0) ························6(（3）设A(x1,y1), B(x2,y2), P(m,0)(－5≤m≤5), 直线l：y＝k(x－m)由得x1＋x2＝, x1x2＝－, ························8(∴y1＋y2＝k(x1－m)＋k(x2－m)＝k(x1＋x2)－2km＝－y1y2＝k2(x1－m)(x2－m)＝k2x1x2－k2m(x1＋x2)＋k2m2＝························10(∴|PA|2＋|PB|2＝(x1－m)2＋＋(x2－m)2＋＝(x1＋x2)2－2x1x2－2a(x1＋x2)＋(y1＋y2)2－2y1y2－2y1y2＋2a2＝(k2＋1)·---------------------------------------12分∵|PA|2＋|PB|2的值仅依赖于k而与m无关∴512－800k2＝0∴k＝±． ························13(

22. 解：(1)

上是减函数.------4分

(2)
即h(x)的最小值大于k.

则
上单调递增,

又

存在唯一实根a, 且满足

当

∴
故正整数k的最大值是3 ----9分

(3)由(Ⅱ)知
∴

令
, 则

∴ln(1＋1×2)＋ln(1＋2×3)＋…＋ln[1＋n(n＋1)]

∴(1＋1×2)(1＋2×3)…[1＋n(n＋1)]＞e2n－3 -------------------14分