试卷类型：A

绝密★启用前

2013年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）

数 学（文史类）

本试卷共4页，共22题，其中第15、16题为选考题。满分150分，考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再炫图其他答案标号。打在试题卷、草稿纸上无效。

3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上制定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑。考生应根据自己选作的题目准确填涂题号，不得多选。答题答在答题卡上对应的答题区域内，打在试题卷、草稿纸上无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.若复数
为纯虚数，则
的虚部为（ ）

A． B．
C．
D．

2.某学校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为的样本，已知女学生一共抽取了100人，则的值是（ ）

A.120 B. 200 C. 240 D. 480

3．已知函数
，则
=

A．
B．
C． D．

4.下列命题中是假命题的是

A．
B．

C．
D．

5. “
”是“函数
存在零点"的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

6．将函数
的图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移
个单位，得到的函数的一个对称中心是

A．
B．
C．
D．

7．下表是某学校学生公寓楼～月份用水量（单位：吨）的一组数据：

月份











用水量











由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是
，

则的值为

A．
B.
C．
D．

8.已知
的定义域为，对任意
，有
，且
，
，则
的值为

A．
B． C．
D．

9．若空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为

A．
B．

C．
D．

10.对于一个有限数列
，的蔡查罗和（蔡查罗为一数学家）定义为
，其中
，若一个99项的数列
的蔡查罗和为1000，那么100项数列
的蔡查罗和为（ ）

A．991 B.992 C.993 D.999

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．

11．已知
，则向量
与
的夹角为 .

12．已知抛物线
的准线经过双曲线
的右焦点，则此双曲线的离心率为 .

13．若，满足约束条件
，目标函数
最大值记为
，最小值记为
，则

的值为 .

14．已知集合
,
,在集合中任意取一个元素，则
的概率是 .

15．执行如图所示的程序框图，若输入的值为2，则输出的值是 .

16．若
分别是
的
所对的三边，且
,则圆M:
被直线
：
所截得的弦长为 .

17. 某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每一条线段的末端再生成两条长度均为原来
的线段；且这两条线段与原线段两两夹角为120°；
；依此规律得到级分形图,则

（Ⅰ）四级分形图中共有 条线段；

（Ⅱ）级分形图中所有线段的长度之和为 .

一级分形图 二级分形图 三级分形图

三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

18．（本小题满分12分）已知函数
的两条相邻对称轴之间的距离等于
，

（Ⅰ）求
的解析式；

（Ⅱ）
且锐角满足
,

.

19．（本小题满分12分）

如图所示的几何体中，
是一个长方体，
是一个四棱锥，其中
，点
平面
且
，

（Ⅰ）在棱
（含端点）上能否找到一点
,使得
∥平面
,并请说明理由；

（Ⅱ）求该几何体的表面积.

20．（本小题满分13分）

“宜昌梦，大城梦” 。当前，宜昌正以特大城市的建设理念和标准全力打造宜昌新区，同时加强对旧城区进行拆除改造。已知旧城区的住房总面积为

,每年拆除的面积相同；新区计划用十年建成，第一年新建设的住房面积为

，前四年每年以
的增长率建设新住房，从第五年开始，每年新建设的住房面积比上一年减少

（Ⅰ） 若
年后宜昌新、旧城区的住房总面积正好比目前翻一番，则每年旧城区拆除的住房面积是多少
？

（Ⅱ）设第年
N) 新区的住房总面积为

，求
.

21．（本小题满分14分）

如图所示，已知圆
为圆上一动点，点在
上，点
在
上，且满足
的轨迹为曲线.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）若过定点（0，2）的直线交曲线于不同的两点
（点
在点
之间），且满足
，求
的取值范围.

22．（本小题满分14分）

设函数
，

（Ⅰ）讨论函数
的单调性；

（Ⅱ）当
时，若对任意的
，恒有
，求的取值范围；

（Ⅲ）证明：

模拟考试数学参考答案（文史类）

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

C

D

D

A

A

D

B

C

A



二、填空题：

11．
12. 13.
14.

15. 16.
17.

三、解答题：

18．（本小题满分12分）

已知函数
的两条相邻对称轴之间的距离等于
，

（Ⅰ）求
的解析式；

（Ⅱ）
且锐角满足
,

.

解：（1）

? ?
…………… 6分

(II) ∵∠Ｂ是三角形的锐角，∴B=60°

：

…………………………………………10分

故
． …………………………………………… 12分

19．（本小题满分12分）

如图所示的几何体中，
是一个长方体，其中
，

是一个四棱锥且点
平面
，
，

（Ⅰ）在棱
上找到一点
,使得
∥平面
,并证明；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求平面
将该几何体分成上下两部分的 体积之比.

解：（1）取
的中点
………………6分

（2）
………………12分

20．（本小题满分13分）

“宜昌梦，大城梦” 。当前，宜昌正以特大城市的建设理念和标准全力打造宜昌新区，同时加强对旧城区进行拆除改造。已知旧城区的住房总面积为
（单位：
）,每年拆除的面积相同；新区计划用十年建成，第一年新建设的住房面积为

，前四年每年以
的增长率建设新住房，从第五年开始，每年新建设的住房面积比上一年减少

（Ⅰ） 若
年后宜昌新、旧城区的住房总面积正好比当前的住房总面积翻一番，则每年旧城区拆除的住房面积是多少？

（Ⅱ）设第年
) 新区的住房总面积为
，求
.

解：⑴
年后新城区的住房总面积为

.

设每年旧城区拆除的数量是，则
,

解得
，即每年旧城区拆除的住房面积是

. ………………6分

⑵设第年新城区的住房建设面积为
，则

所以当
时，
； ………………9分

当
时，

.

故
。 ………………13分

21．（本小题满分14分）

如图所示，已知圆
为圆上一动点，点在
上，点
在
上，且满足
的轨迹为曲线.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）若过定点（0，2）的直线交曲线于不同的两点
（点
在点
之间），且满足
，求
的取值范围.

解：（1）

∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|. …………………2分

又

∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.

且椭圆长轴长为
焦距2c=2.
……………5分

∴曲线E的方程为
………………6分

（2）当直线GH斜率存在时，

设直线GH方程为

得

设
…………………8分

，

……………………11分

又当直线GH斜率不存在，方程为

……………………………14分

22．（本小题满分14分）

设函数
， （Ⅰ）讨论函数
的单调性；

（Ⅱ）当
时，若对任意的
，恒有
，求的取值范围；

（Ⅲ）证明：

解：（1）
，
…………2分

当
单调递增 …………3分

当p>0时，令
的变化情况如下表：

x

(0，
)









+

0

－





↗

极大值

↘



从上表可以看出：当p>0 时，
在(0，
)单调递增，在
单调递减，…………6分

（Ⅱ）当p>0时在
处取得极大值
，此极大值也是最大值，

要使
恒成立，只需
， ∴
∴p的取值范围为[1，+∞
……9分

（Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，

∴
， ∴
…………11分

∴

…………12分

∴结论成立 ………………………………14分