罗山县高中2013届毕业班第三轮复习第二次模拟考试

理科数学

注意事项：

1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．关于复数的命题，其中真命题的个数是（ ）．

（1）复数
；（2）复数
的模为
；

（3）在复平面内, 纯虚数与轴上的点一一对应

A．0个　　　　 B．1个　　　　 C．2个　　　 D．3个

2．已知集合
，
，那么“
”是“
”的（ ）

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件

3.在等差数列
中，
，则数列
的前9项之和
等于（ ）

A.63 B.45 C.36 D.18

4.下图为计算20个数据的平均数的程序,则在横线上应填的语句是（ ）

A.
B.
C.
D.

5．如图，一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为2锐角为
的菱形，俯视图为正方形，则此几何体的内切球表面积为（ ）

A
B
C
D

6.定义行列式运算：
.若将函数
的图象向左平移
个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

7.已知
对任意
恒成立，且
，
，则
（ ）

A.4 B.3 C.2 D.1

8.我们把相同数字都不在一起的数称为“不和数”.现从由两个1，两个2，一个3，一个4这6个数字构成的所有不同6位数中，抽出一个数，是“不和数”的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

9.设实数
满足
，则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

10．若函数
的图象与x轴交于点A，过点A的直线
与函数的图象交于B、C两点，则
（ ）

A．
　　 B．
C．
　　　 D．

11. 已知双曲线C:
(a >0, b>0)的右焦点为F，过F且斜率为
的直线交C于A,B两点,若
，则C的离心率为（ ）

A
B
C 2 D

12．设函数
，若有且仅有一个正实数
，使得
对任意的正数t都成立，则
= （ ）

A．5 B．
C．3 D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题~第24题为选考题，考试依据要求作答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13.在正方体
中，BB1、BC的中点分别是M、N,则异面直线BD1和MN所成的角是 。

14.设
是
在区间
上的最大值和最小值，
，由上述估值定理，估计定积分
的取值范围是 .

15.设函数
为坐标原点，
为函数
图象上横坐标为
的点，向量
,向量
，设
为向量
与向量
的夹角，则满足
的最大整数是 .

16．关于函数
（为常数）有如下命题

①函数
的周期为； ②
，函数
在
上单调递减；

③若函数
有零点，则零点个数为偶数个，且所有零点之和为0；

④
，使函数
在
上有两个零点；

其中正确的命题序号是_________________

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

函数
部分图象如图所示，其图象与轴的交点为
，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为
和

（Ⅰ）求
的解析式及
的值；

（Ⅱ）在
中，、
、分别是角、、
的对边，若
，
的面积为
，求
、的值.

18.(本小题满分12分)

有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响.

据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表：

所用的时间（天数）

10

11

12

13



通过公路1的频数

20

40

20

20



通过公路2的频数

10

40

40

10



假设汽车A只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发.

（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径；

（2）若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元（其他费用忽略不计），此项费用由生产商承担.如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，生产商将支付给销售商2万元.如果汽车A，B长期按（1）所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大.

（注：毛利润销售商支付给生产商的费用一次性费用）

19．（本小题满分12分）

如图所示，在边长为的正方形
中，点
在线段
上，且
，
，作

∥
，分别交
，
于点
，，作
∥
，分别交
，
于点
，
，将该正方形沿
，
折叠，使得
与
重合，构成如图所示的三棱柱
．

（1）求证：
平面
； （2）求四棱锥
的体积；

（3）求平面
与平面
所成角的余弦值．

20. （本小题满分12分）

已知椭圆
的左、右两个顶点分别为、．曲线
是以、两点为顶点，离心率为
的双曲线．设点在第一象限且在曲线
上，直线
与椭圆相交于另一点．

（1）求曲线
的方程；

（2）设、两点的横坐标分别为
、
，证明:
；

（3）设
与
（其中
为坐标原点）的面积分别为
与
，且
，

求
的取值范围．

21.（本小题满分12分）

已知函数
.

（I）试判断函数
上单调性并证明你的结论；

（II）若
恒成立，求正整数k的最大值；

（III）求证：
.

请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲

如图，在△ABC中，BC边上的点D满足BD＝2DC，以BD为直径作圆O恰与CA相切于点A，过点B作BE⊥CA于点E，BE交圆D于点F。

（1）求∠ABC的度数；

（2）求证： BD＝4EF

23、选修4－4，坐标系与参数方程（本小题满分10分）

在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为
（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为
。

（1）求圆C的直角坐标方程；

（2）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为（3，
），求｜PA｜＋｜PB｜。

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数
。

（Ⅰ）当
时，解不等式
；

（Ⅱ）当
时，
，求的取值范围。

罗山高中2013届毕业班第三轮复习第二次模拟考试

理科数学参考答案

一．选择题： BBDAC CDBCD AD

二：填空题： 13.
（或900 ） 14.
15. 10 16. ④

三．解答题：17.解（Ⅰ）由图可知，
．设函数
的周期为，则
，所以
，所以
． ……………2分

此时，
．

又点
在图象上，所以
，可得
，

因为
，所以
． ……………………………………………4分

所以
的解析式为
． …………………………………5分
，所以

又因为
是最小的正数，所以
．……………………………………………………6分

（Ⅱ）由
，得
，即
．

，
，所以
，所以
．…………………10分

由
，得
，①

由
，得
，即
，②

从而得
，③

解①③得
．………………………………………12分

18、（1）解：频率分布表，如下：

所用的时间（天数）

10

11

12

13



通过公路1的频率

0.2

0.4

0.2

0.2



通过公路2的频率

0.1

0.4

0.4

0.1



……………………………………………………………2分

设
分别表示汽车A在前11天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；
分别表示汽车B在前12天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；

，
，∴汽车A应选择公路1，…… 4分

，
，

∴汽车B应选择公路2. …………………6分

（2）设
表示汽车A选择公路1时，销售商付给生产商的费用，则
.

的分布列如下：

42

40

38

36





0.2

0.4

0.2

0.2




.

∴　表示汽车A选择公路1时的毛利润为
（万元） …………8分

设表示汽车B选择公路2时的毛利润，
.

则分布列如下：

42.4

40.4

38.4

36.4





0.1

0.4

0.4

0.1




. ……10分

∵
，∴汽车B为生产商获得毛利润更大. ……………12分

19．解：（1）在正方形
中，

因为
，

所以三棱柱
的底面三角形
的边
．

因为
，
，

所以
，所以
．

因为四边形
为正方形，
,

所以
，而
， 所以
平面
．----------- 4分

（2）因为
平面
，所以
为四棱锥
的高．

因为四边形
为直角梯形，且
，
，

所以梯形
的面积为
．

所以四棱锥
的体积
．-----------8分

（3）由（１）（２）可知，
，
，
两两互相垂直．

以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
，

则
，
，
，

，
，所以

，
，

设平面
的一个法向量为
．

则
，即

令
，则
．所以
．

显然平面
的一个法向量为
．

设平面
与平面
所成锐二面角为，

则
．

所以平面
与平面
所成角的余弦值为
． --------------- 12分

20、（1）解：依题意可得
，
．………………………………………1分

设双曲线
的方程为

，

因为双曲线的离心率为
，所以
，即
．

所以双曲线
的方程为
．……………………………………………3分

（2）证法1：设点
、
（
，
，
），直线
的斜率为
（
），

则直线
的方程为
，……………………………………………………4分

联立方程组
…………………………………………………………5分

整理，得
，

解得
或
．所以
．………………………………… 6分

同理可得，
．…………………………………………………………7分

所以
．…………………………………………………………………8分

证法2：设点
、
（
，
，
），

则
，
．……………………………………………4分

因为
，所以
，即
．…………………5分

因为点和点分别在双曲线和椭圆上，所以
，
．

即
，
．………………………………………6分

所以
，即
．…………………………… 7分

所以
．…………………………………………………………………………8分

（3）解：设点
、
（
，
，
），

则
，
．

因为
，所以
，即
．……… 9分

因为点在双曲线上，则
，所以
，即
．

因为点是双曲线在第一象限内的一点，所以
．因为
，
，

所以
． …………10分

由（2）知，
，即
．

设
，则
，
．

设
，则
，

当
时，
，当
时，
，

所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减．

因为
，
，

所以当
，即
时，
．

当
，即
时，
．

所以
的取值范围为
．………………………………………………… 12分

(24)解：（Ⅰ）当
时，
……………………1分

当
时，由
得
，解得

当
时，
恒成立；

当
时，由
得
，解得
．……………4分

所以不等式
的解集为
． ………………5分

（Ⅱ）因为
，

当
时，
；

当
时，
.…………………7分

记不等式
的解集为
则
，……………8分

故
，所以的取值范围是
．……………10分