试卷类型：A

绝密★启用前

2013年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）

数 学（理工类）

本试卷共4页，共22题，其中第15、16题为选考题。满分150分，考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再炫图其他答案标号。打在试题卷、草稿纸上无效。

3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上制定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑。考生应根据自己选作的题目准确填涂题号，不得多选。答题答在答题卡上对应的答题区域内，打在试题卷、草稿纸上无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 ，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.设集合
，
，若
,则的值是 （ ）

A．1　　　 B．0 C．－1 D．1或－1

2.复数
（为虚数单位）的虚部是（　　）

A．
B．
C．
D．

3．“
”是“方程
表示焦点在轴上的双曲线”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4.设非零向量
，满足
，
，则
= ( )

A．
B．
C．
D．

5.已知三棱锥的底面是正三角形，其正视图与俯视图如图所示，

则其侧视图的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

6．如下图，是把二进制数
化成十进制数的一个程序框图，判断框内可以填入的条件是（ ）

A．
B．
C．
D．

7.已知函数
的部分图像如图，

则
（ ）

A．
B．
C． D．

8. 一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内接于半径为
的球，则该棱柱体积的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．

9.宜昌市科协将12个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3个学校，要求每个学校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为（　　）

A．36 B．42 C．48 D．54

10.定义域是一切实数的函数
，其图象是连续不断的,且存在常数
使得
对任意实数都成立,则称
是一个“
的相关函数”.有下列关于“
的相关函数”的结论:①
是常数函数中唯一一个“
的相关函数”；②
是一个“
的相关函数”；③ “
的相关函数”至少有一个零点.

其中正确结论的个数是（　　）

A． B． C．
D．

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分

（一）必考题

11.
的展开式中的常数项为______.

12.在长为10
的线段AB上任取一点C，并以线段AC为边作正方形，这个正方形的面积介于25
与49
之间的概率为　　．

13．对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图，则估计此样本的众数是 ______；中位数是 ______.

14. 某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为?120°；二级分形图是在一级分形图的每一条线段末端出发再生成?两条长度均为原来
的线段；且这两条线段与原线段两两夹角为?120°；
；依次规律得到级分形图.

则（1）级分形图中共有 条线段.

（2）级分形图中所有线段长度之和为 .

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分）

15．（选修4—1：几何证明选讲）如图，
与圆相切于，
为圆的割线，并且不过圆心，已知
，
，
，则圆的半径等于 .

16．（选修4—4：坐标系与参数方程）设
分别为直线

为参数）和曲线：
上的点，

则
的最小值为 ．

三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.(本小题满分12分）

已知函数

（1）求函数
的值域；

（2）记
的内角
的对边分别为
，若
求的值．

18.（本小题满分12分）

已知公差不为
的等差数列
的前
项和
＝9，且
、
、
成等比数列.

（1）求数列
的通项公式和前项和
.

（2）设
为数列
的前项和，若
对一切
恒成立，求实数

的最小值.

19．（本小题满分12分）

如图，在底面是正方形的四棱锥
中，
面
，
交
于点，

是
中点，为
上一点．

（1）确定点在线段
上的位置，使
//平面
，并说明理由．

（2）当二面角
的大小为
时，求
与底面
所成角的正切值．

20．（本小题满分12分）

在我校第十六届科艺读书节活动中，某班50名学生参加智力答题活动，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表：

答对题目个数

0

1

2

3



人数

5

10

20

15



根据上表信息解答以下问题：

（1）从50名学生中任选两人，求两人答对题目个数之和为4或5的概率；

（2）从50名学生中任选两人，用
表示这两名学生答对题目个数之差的绝对值，求随机变量
的分布列及数学期望
.

21．（本小题满分13分）

我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．

如图，“盾圆
”是由椭圆
与抛物线
中两段曲线弧合成，
为椭圆的左、右焦点，
．为椭圆与抛物线的一个公共点，
．

（1）求椭圆的方程；

（2）求定积分时，可以使用下面的换元法公式：函数
中，令
，

则
（其中
）．

如
．

阅读上述文字，求“盾圆
”的面积．

（3）过
作一条与轴不垂直的直线，与“盾圆
”依次交于
四点，和
分别为
的中点，问
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，

说明理由．

22. （本小题满分14分）

已知函数
.

（1）若
，求
的单调区间及
的最小值；

（2）若
，求
的单调区间；

（3）若
，求的最小正整数值.

1. [答案]C 2.[答案]D 3.[答案]A（教材选修2-1
页第4题改编）

4.【答案】D.法一:【解析】∵
∴
，∴解得：

∴
∴
法二:利用向量几何意义画图求解.

5.【答案】C 6.[答案]A（教材必修3，
页例4改编）

7.【答案】C【解析】根据图像
，解得
，把点
的坐标代入，得
，结合
得
，故
，

，

函数的最小正周期是，在一个周期内的各个函数值之和为
，
，

。

8【答案】 B(教材选修4-5
页第14题改编）【解析】设该三棱柱的底面边长为，高为
，则底面正三角形的外接圆半径是
，依题意有
，即
，
，当且仅当
，即
，
时取等号，此时
取得最大值，因此该棱柱的体积
的最大值是
.

9

10.【答案】A ①设
是一个“
的相关函数”，则
，当
时，可以取遍实数集，因此
不是常数函数中唯一一个“
的相关函数”故①不正确. ②假设
是一个“
的相关函数”,则
对任意都成立,所以
,而此式无解,所以
不是一个“
的相关函数”, 故②不正确; ③令=0,得
,所以
,显然
有实数根;若
,
又因为
的图象是连续不断的,所以
在
上必有实数根.因此“
的相关函数”必有根,即“
的相关函数”至少有一个零点.故③正确.

二填空题 11. 15 12【解析】∵以线段AC为边的正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间∴线段AC的长介于5 cm与7 cm之间满足条件的C点对应的线段长2cm而线段AB总长为10 cm 故正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间的概率P=
=

13. [答案]C（教材必修3， P72页例题改编）解析：样本的众数为最高矩形底边中点对应的横坐标，为
中位数是频率为
时，对应的样本数据，由于
，故中位数为

14.[答案]（创新题）（1）
；（2）
，依题意，（1）记级分形图中共有
条线段，则有
，
，
，由累加法得

（2）级分形图中所有线段的长度和等于

15. 7; 16: 4

17.解：（1）

…4分

，
，
，

所以函数
的值域是
；……………………………… …………6分

故的值为1或2. ………………………………………… ………………12分

18.

在
单调递增,

（1）当为
中点，即
时，
平面
，理由如下：连结
，由为
中点，为
中点，知
，而
平面
，
平面
，故
平面
．

（2）作
于，连结
，∵
面
，四边形
是正方形，

∴
，又∵
，
，∴
，

∴
，且
，∴
是二面角
的平面角， 即
，∵
⊥面
，∴
就是
与底面
所成的角连结
，则
，
，
，∴
，
∴
，∴
，∴
∴