2013届高考考前练习（最后十五天每天一练）

每天一练1

1.已知复数

，且
为实数，则

A.
B.
C.
D.

2.已知
，则
的值为

A.
B.
C.
D.

3.已知数列
满足
，
，则

A. 143 B. 156 C. 168 D. 195

4.
____________.

5.用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数字夹在两个奇数字之间的四位数的个数为_____________.

6（本小题满分12分）

在三角形
中，
.

⑴ 求角
的大小；

⑵ 若
，且
，求
的面积.

7.（本小题满分12分）

2012年第三季度，国家电网决定对城镇居民民用电计费标准做出调整，并根据用电情况将居民分为三类: 第一类的用电区间在
，第二类在
，第三类在
（单位：千瓦时）. 某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图如图所示.

⑴ 求该小区居民用电量的中位数与平均数；

⑵ 利用分层抽样的方法从该小区内选出10位居民代表，若从该10户居民代表中任选两户居民，求这两户居民用电资费属于不同类型的概率；

⑶ 若该小区长期保持着这一用电消耗水平，电力部门为鼓励其节约用电，连续10个月，每个月从该小区居民中随机抽取1户，若取到的是第一类居民，则发放礼品一份，设
为获奖户数，求
的数学期望
与方差
.

1---5 C A C
8

6解：(1) 由题
，

则
，化简得
， (2分)

即
，
，所以
， (4分)

从而
，故
. (6分)

(2) 由
，可得
.

所以
或
. (7分)

当
时，
,则
,
; (8分)

当
时，由正弦定理得
.

所以由
，可知
. (10分)

所以
. (11分)

综上可知
(12分)

7解：(1) 因为在频率分布直方图上，中位数的两边面积相等，可得中位数为155. (2分)

平均数为

. (4分)

(2) 由频率分布直方图可知，采用分层抽样抽取10户居民，其中8户为第一类用户，2户为第二类用户，则从该10户居民中抽取2户居民且这两户居民用电资费不属于同一类型的概率为
. (8分)

(3) 由题可知，该小区内第一类用电户占80%，则每月从该小区内随机抽取1户居民，是第一类居民的概率为0.8，则连续10个月抽取，获奖人数
的数学期望
，方差
. (12分)

每天一练2

1.已知函数
的图象的一条对称轴是
，则函数
的最大值是（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 已知条件
：
，条件
：
，且
是
的充分不必要条件，则
的取值范围可以是（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 世博会期间，某班有四名学生参加了志愿工作.将这四名学生分配到
、
、
三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人.若甲要求不到
馆，则不同的分配方案有( )

A.
种 B.
种 C.
种 D.
种

4. 在空间直角坐标系中，对其中任何一向量
，定义范数
，它满足以下性质：
，当且仅当
为零向量时，不等式取等号；（2）对任意的实数
，
（注：此处点乘号为普通的乘号）。（3）
。试求解以下问题：在平面直角坐标系中，有向量
，下面给出的几个表达式中，可能表示向量
的范数的是_____ _______.（把所有正确答案的序号都填上）

（1）
（2）
（3）
（4）

5. 设
中的内角
，
，
所对的边长分别为
，
，
，且
,
.

（Ⅰ）当
时，求角
的度数；

（Ⅱ）求
面积的最大值.

6如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝
，
为等边三角形，

又平面PAD⊥平面ABCD．

s.5（Ⅰ）若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求
的取值范围；

（Ⅱ）当边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角A－PD－Q的余弦值．

1---4 B A C （4）

5解：（Ⅰ）因为
，所以
. …………2分

因为
，
，由正弦定理
可得
. …………4分

因为
，所以
是锐角，所以
. ……………6分

（Ⅱ）因为
的面积
， 所以当
最大时，
的面积最大.

因为
，所以
. ……………9分

因为
，所以
所以
，（当
时等号成立）

所以
面积的最大值为
. ……… …

6解：（Ⅰ）取AD中点O，连接PO，则PO⊥AD

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD………2分

建立如图的空间直角坐标系，则
,设Q（t，2，0），

则
＝（t，2，－
），
＝（t
，2，0）． ∵PQ⊥QD，∴
．

∴
,等号成立当且仅当t=2．

故
的取值范围为
． …………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当
，
=8时，边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD．

此时Q（2，2，0），D（4，0，0）,
．

设
是平面
的法向量，
＝（2，2，
），

＝（-2，2，0）． 由
，得．

取
，则
是平面
的法向量． 而
是平面
的一个法向量，

设二面角A－PD－Q为
，由
．∴二面角A－PD－Q的余弦值为
．

每天一练3

1.已知集合A＝{2x，y}，集合B＝{-x2，4}，若A＝B，则x2+y2的值为（ ）

A.8 B.20 C.16 D.12

2.已知i是虚数单位，则
等于（ ）

A.1 B.-1 C. i D.- i

3.数列{an}为递增等比数列，若a1=1,且2an+1+2an-1=5an(n≥2)。则此数列的前5项的和S5＝（ ）

A.
B.31 C.32 D.15

4.直线（m-1）x+3y+m=0与直线x+(m+1)y+2=0平行，则实数m= 。

5.已知x,y满足条件
（m为常数），若z=x+2y的最大值为6，m= 。

6.满足性质“对任意的正整数n，
都成立”的数列称为“差非增数列”。给出以下数列{an},n∈N*：①an=2n+
；②an=n2+ n +1；③an=2n+1；④an=ln
；⑤an=2n+
,其中是“差非增数列”的有 （写出所有满足条件的序号）

7.把圆周4等分，A是其中一个分点，动点P在四个分点上按逆时针方向前进，掷一个写有数字1，2，3，4的质地均匀的正四面体，P从点A出发，按照正四面体底面上所投掷的点数前进（数字为n就前进n步），转一周之前继续投掷，转一周或超过一周即停止投掷。

（1）求点P恰好返回A点的概率；

（2）在点P转一周恰好返回A点的所有结果中，用随机变量ξ来表示点P返回A点时投掷的次数，求ξ的分布列和期望。

1---6 B，C，B -2 6 ③④

7.解：（1）投掷一次恰好返回A点，即投出数字4，其发生的概率P1＝
，投掷二次恰好返回A点，即投出数字1、3或2、2，其发生的概率

P2＝

投掷三次恰好返回A点，即投出数字1、1、2，其发生的概率

P3＝

投掷四次恰好返回A点，即投出数字1、1、1、1，其发生的概率

P4＝

则所求的概率P＝P1+P2+P3+P4＝

答：点P转一周恰好返回点A的概率是
………………（8分）

（2）ξ的可能取值为1、2、3、4

由（1）知，P（ξ＝1）＝

同理P（ξ＝2）＝
，P（ξ＝3）＝
，P（ξ＝4）＝

∴ξ的分布列为

ξ

1

2

3

4



P











Eξ＝1
……………………（12分）

每天一练4

1．在复平面内，复数
所对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．如右图，是一程序框图，则输出结果为( )

A．
B．
C．
D．

3．设
、
是两个不同的平面，
、
是两条不同的直线，

给出下列4个命题,其中正确命题是（ ）

A．若
∥
，
∥
，则
∥
　

B．若
∥
，
∥
，
∥
，则
∥

C．若
⊥
，
⊥
，
⊥
，则
⊥

D．若
、
在平面
内的射影互相垂直，则
⊥

4．下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间
中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段
围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为
，如图3.图3中直线
与x轴交于点
，则m的象就是n，记作
．

下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号)

①
；②
是奇函数; ③
在定义域上单调函数;

④
的图象关于点
对称．

5.海岛B上有一座为10米的塔，塔顶的一个观测站A，上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上，且俯角45°的D处。（假设游船匀速行驶）

（Ⅰ）求该船行使的速度（单位：米/分钟）

(Ⅱ)又经过一段时间后，油船到达海岛B的正西方向E处，问此时游船距离海岛B多远。

6.如图，在三棱柱
中，已知

，

侧面

(Ⅰ)求直线C1B与底面ABC所成角正切值；

(Ⅱ)在棱
（不包含端点
上确定一点
的位置，使得
(要求说明理由).

(Ⅲ)在（2）的条件下,若
，求二面角
的大小.

1---4 BBC ③④

5．解：

(Ⅰ)在Rt
ABC中，
，AB = 10，则BC =
米

在Rt
ABD中，
，AB = 10，则BD = 10米

在Rt
BCD中，
，

则CD =
= 20米

所以速度v =
= 20 米/分钟

（Ⅱ）在
中，
，

又因为
，所以

所以

在
中，由正弦定理可知
，

所以
米

6. 解：如图，以B为原点建立空间直角坐标系，

则
，
，

(Ⅰ)直三棱柱
中，平面
的法向量
，又
，

设
，

则

即直线
与底面
所成角正切值为2.

（Ⅱ）设
，则
，

，∴

，即

Ⅲ）∵
，则
，

设平面
的法向量

，

则


，取

∵
，
∴
，又

∴平面
的法向量
，∴

∴二面角
的大小为45°

每天一练5.

1．若连掷两次骰子，得到的点数分别为
、
，记向量
与向量
的夹角为
，则
的概率是

A．
B．
C．
D．

2．己知双曲线的方程为
，直线
的方程为
，过双曲线的右焦点
的直线与双曲线的右支相交于
、
，以
为直径的圆与直线
相交于
、
，记劣弧
的长度为
，则
的值为

A．
B．
C．
D．

3．在二项式
的展开式中，
的系数是 ;

4．若等比数列{
}的首项为
，且
，则公比等于_____________;

5在如图的多面体中，
⊥平面
，
,
，
，
，
，
，
是
的中点．

(Ⅰ) 求证：
平面
；

(Ⅱ) 求二面角
的余弦值.

6投掷四枚不同的金属硬币
，假定
两枚正面向上的概率均为
，另两枚
为非均匀硬币，正面向上的概率均为
，把这四枚硬币各投掷一次，设
表示正面向上的枚数.

(Ⅰ)若
出现一枚正面向上一枚反面向上与
出现两枚正面均向上的概率相等，求
的值；

(Ⅱ)求
的分布列及数学期望（用
表示）；

(Ⅲ)若出现2枚硬币正面向上的概率都不小于出现1枚和3枚硬币正面向上的概率，求
的取值范围.

1---4 A C 60 3

5.解： (Ⅰ)证明：∵
，∴
.

又∵
,
是
的中点， ∴
，

∴四边形
是平行四边形， ∴
.

∵
平面
，
平面
， ∴

.

(Ⅱ)∵
平面
，
平面
，
平面
，

∴
，
，又
,∴
两两垂直.

以点E为坐标原点，
分别为
轴建立如图的空间直角坐标系.由已知得，
（0，0，2），
（2，0，0），
（2，4，0），
（0，3，0），
（0，2，2），
（2，2，0）.

由已知得
是平面
的法向量.

设平面
的法向量为
，∵
，

∴
，即
，令
,得
. …设二面角
的大小为
，

则
， ∴二面角
的余弦值为

6．解：（Ⅰ）由题意，得
……………………3分

（Ⅱ）
=0，1，2，3，4.

；

得
的分布列为：

0

1

2

3

4



p














的数学期望为：
……10分

（Ⅲ）
≥0 .

≥0 .………12分

…13分

每天一练6.

1．双曲线
的一个焦点坐标是 （ ）

A．
B．
C．
D．（1，0）

2．已知函数
是定义在R上的奇函数，当
时，
的值是 （ ）

A．
B．
C．8 D．-8

3．记集合
，将M中的元素按从小到大排列，则第70个是 （ ）

A．0.264 B．0.265 C．0.431 D．0.432

4．已知
。

5.右图是某简谐运动的一段图象，其函数模型是
，其中

（Ⅰ）根据图象求函数
的解析式；

（Ⅱ）将
图象上所有的点向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，若实数
满足
的值。

6.如图，点A，B，C是椭圆
的三个顶点，D是OA的中点，P、Q是直线
上的两个动点。

（Ⅰ）当点P的纵坐标为1时，求证：直线CD与BP的交点在椭圆上；

（Ⅱ）设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，
，试判断以线段PQ为直径的圆是否恒过定点，请说明理由。

1---4 ADA

5解：（Ⅰ）由函数图象及函数模型
知
；

由
，得
，由
得
； 由
得
．　　　　　　　　

∴所求函数解析式为
．

（Ⅱ）将
图象向左平移
个单位长度，

得到函数
的图象， ∵

， ∴
，又
， 解得
．

6. 解：（Ⅰ）由题意，
时，直线CD方程为
，

直线BP方程为
, 由方程组
解得
，
+
=
+
=1，

∴
在椭圆上，∴直线 CD 与BP的交点在椭圆上．

（Ⅱ）∵
∴
，∴
，∴焦点
，
．

设
，
，

，
，

线段PQ为直径的圆圆心是
的中点（4，
），半径为
，

圆的方程为

令
，得
∴
或
，

以线段
为直径的圆恒过定点
．

每天一练7.

1. 已知集合M = {1,2}，N = {
?1｜
∈M}，则M∪N等于

A．{1,2,3} B．{1,2} C．{1} D．(

2．复数
，若
的对应点位于直线x+y=0上，则实数b的值为

A．-3 B．3 C．-
D．

3. 若圆x2+y2=2在点(1，1)处的切线与双曲线
的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率等于

A.
B.
C. 2 D.

4. 非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|，则a与a+b的夹角为______________.

5. 一个空间几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .

6． 设函数
的最大值为
,最小正周期为
.

(Ⅰ)求
、
；

(Ⅱ)若有10个互不相等的正数