台州中学2012学年第二学期第四次统练试题

高三 数学(文)

命题人:高三数学备课组

参考公式：

球的表面积公式 柱体的体积公式

球的体积公式 其中
表示柱体的底面积，
表示柱体的高

台体的体积公式

其中
表示球的半径

锥体的体积公式 其中
分别表示台体的上底、下底面积，

表示台体的高

其中
表示锥体的底面积， 如果事件
,
互斥，那么

表示锥体的高

Ⅰ 选择题部分（共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设全集
,集合
，
，则
=

A．
B．
C．
D．

2.“
”是“直线
和直线
相互垂直”的

A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

3.复数
(
是虚数单位)表示复平面内的点位于

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

4．执行如图所示的程序框图，那么输出的
为

A．l B．2 C．3 D．4

5.将函数
的图像各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,

再把所得图像向右平移
个单位长度，所得图像的函数解析式是( )

A.
B.

C.
D.

6.已知实数
满足不等式组
,则
的最大值是（ ）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 0

7．设
是不同的直线，
是不同的平面，下列命题中正确的是

A．若
//
B．若
//

C．若
//
D．若
//

8．直线
与圆
相交于M、N两点，若|MN|≥
，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

9．若△
内接于以
为圆心，1为半径的圆，且
，且
,则

A. 3 B.
C.
D.

10．已知
是双曲线
的两个顶点，点
是双曲线上异于
的一点，连接

（
为坐标原点）交椭圆
于点
，如果设直线
的斜率分别为
，

且
，假设
，则
的值为（ ）

A．1 B．
C． 2 D．4

Ⅱ 非选择题部分（共100分）

二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分.将答案直接答在答题卷上的指定位置）

11．如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图是全等的矩形，底边长为2，高为3，俯视图是 半径为1的圆，则该几何体的体积是_______．

12.某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成 频率分布直方图（如图），则这100名同学中学习时间在6～8小时内的人数为 ．

13.设正整数
满足
，则
恰好使曲线方程
表示焦点在
轴上的椭圆的概率是 ．

14.已知双曲线
的渐近线与圆
相切，则该双曲线的离 心率为_________．

15.已知
，
，
，则
的最小值为 .

16.点
是曲线
上任意一点，则点
到直线
的最小距离为 .

17.设函数
的导函数为
且
，则下列三个数：
从小到大依次排列为 ．（e为自然对数的底数）

三、解答题（本大题共5小题, 共72分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤）

18.(本题满分14分）在三角形
中，角
所对的边分别为
且

(I)求角
的大小;（II）若
,且三角形
的周长为
,求三角形
的面积

19. (本题满分14分）已知
是首项为19，公差为-2的等差数列，
为
的前
项和.

（Ⅰ）求通项
及
；

（Ⅱ）设
是首项为1，公比为3的等比数列，求数列
的通项公式及其前
项和
.

20．（本题满分14分）如图，在△
中，
，
，点
在
上，
交
于
，
交
于
．沿
将△
翻折成△
，使平面
平面
；沿
将△
翻折成△
，使平面
平面
．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）若
，求二面角
的平面角的正切值．

21.（本题满分15分）已知
,函数
.

（Ⅰ）当
,求函数f (x)的极值点；

（Ⅱ）当
时,不等式
成立,求
的范围.

22.（本题满分15分）己知点
为抛物线
的焦点，斜率为1的直线
交抛物线于不同两点
．以
为圆心，以
为半径作圆，分别交
轴负半轴于
，直线
交于点
．

（I）判断直线
与抛物线
的位置关系，并说明理由；

（II）连接
,
,
，记
,
,
,设直线
在
轴上的截距为
，当
为何值时，
取得最小值，并求出取到最小值时直线
的方程.

台州中学2012学年第二学期第四次统练参考答案

高三 数学(文)

一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

C

D

C

D

B

B

B

A

C



二、填空题：本大题共有7小题，每小题4分，共28分．

11.
12. 30 13.
14.

15. 6 16.
17.

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

18．解：（I）由正弦定理得：

又
化简得：

故
，

（II）根据题意得

把
,
代入解得：

19.解：（I）因为
是首项为
公差
的等差数列，

所以

（II）由题意
所以

20.解：（Ⅰ）因为
，
平面
，所以
平面
．

因为平面
平面
，且
，所以
平面
．

同理，
平面
，所以
，从而
平面
．

所以平面
平面
，从而
平面
．

（Ⅱ）因为
，
，

所以
，
，
，
．

过E作
，垂足为M，连结
．

由（Ⅰ）知
，可得
，

所以
，所以
．

所以
即为所求二面角
的平面角，可记为
．

在Rt△
中，求得
，

所以
．

21、(Ⅰ) 解：（Ⅰ）由题意，

单调性:
递减,
递增,
递减,
递增,所以
为极小值点,
极大值点.

（Ⅱ）设此最小值为m.

①当

因为

则
是区间[1，2]上的增函数，所以

②当
知

③当

若
上的增函数，

由此得
若

当
上的增函数；

当
上的减函数.

因此，当

当
；

当

综上所述，所求函数的最小值

解不等式

解法二:先特殊值缩小范围,再参数分离求最值.