湖南省怀化市2013届高三第三次模拟考试统一检测试卷

数 　学（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共45分）

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共计45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上.

1．已知集合
，
，则
等于

A．
B．
C．
D．

2．
（其中
为虚数单位），则
为

A.
B.
C.
D.

3. 设向量
，
，命题“若
，则
”的逆否命题是

A. 若
，则
B. 若
，则

C. 若
，则
D. 若
，则

4．函数
的一条对称轴是

A．
B．
C．
D．

5.―个锥体的主视图和左视图如下图所示,下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是

6. 右图是某种零件加工过程的流程图：已知在一次这种零件的加工过程中，到达的1000个零件有99.4%的零件进入精加工工序. 所有零件加工完后，共得到10个废品，则精加工工序产生的废品数为：

A．7 B．6 C．5 D．4

7．在直角坐标系xOy中，若
，
满足
， 则
的最大值为

A． 0
B．1 C．
D．

8．若双曲线
的左、右焦点分别为
、
，线段
被抛物线
的焦点分成
的两段，则此双曲线的离心率为

A.
B.
C．
D.

9.已知
，
是定义在R上周期为
的函数，在
上
，若方程
恰有5个实数解，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共105分）

二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.

10．计算
.

11．二进制数10011（2）化为十进制数是 .

12. 直线
：
（常数
）与圆
为参数）相切，则
．

13. 实数
，
,则关于
的方程
有实根的概率是 .

14. 求“方程
的解”有如下解题思路：设
，则
在R上单调递减，且
，所以原方程有唯一解
. 类比上述解题思路，方程
的解集为 .

15．规定满足“
”的分段函数叫“对偶函数”，已知函数
是对偶函数，则

（1）
= .

（2）若
对于任意的
都成立，则
的取值范围是____.

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

在
中，已知
，
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，
为
的中点，求
，
的长.

17．（本小题满分12分）

每年的三月十二日是中国的植树节.林管部门在植树前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测. 现从甲、乙两批树苗中各抽了 10株，测得髙度如下茎叶图，(单位：厘米），规定树苗髙于132厘米为“良种树苗”.

（I）根据茎叶图，比较甲、乙两批树苗的高度，哪种树苗长得整齐？

(Ⅱ) 设抽测的10株甲种树苗高度平均值为
，将这10株树苗的高度依次输入如图程序框图进行运算，问输出的S为多少？.

（Ⅲ）从抽测的甲乙两种“良种树苗”中任取2株，至少1株是甲种树苗的概率.

18．(本小题满分12分）

已知正方形ABCD中（图甲）， E ，F分别是AB ，CD的中点，将△ADE沿DE折起（图乙），记二面角A-DE-C的大小为
．

（I） 证明
平面ADE；

（II） 若△ACD为正三角形，试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上. 若认为在，证明你的结论，并求角
的余弦值；若认为不在，说明理由.

19． （本小题满分13分）

某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传时，每件获利a元，可卖出b件；若作广告宣传，广告费为n千元比广告费为（n —1）千元多卖出
件，（n∈N*）.

　（I）试写出销售量
与n的函数关系式；

　（II）当a =10，b=4000时，厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？

20．（本小题满分13分）

已知椭圆
：
过点
，离心率
，若点
在椭圆
上，则称点
为点M的一个“椭点”，直线
交椭圆
于
，
两点. 若点
，
的“椭点”分别是
，
，且以
为直径的圆经过坐标原点
.

(Ⅰ) 求椭圆
的方程；

(Ⅱ) 若椭圆
的右顶点为
，上顶点为
，试探究
的面积与
的面积的大小关系，并证明.

21．（本小题满分13分）

已知函数
，

　（Ⅰ）若函数
在
上是减函数，求实数
的取值范围；

　（Ⅱ）令
，是否存在实数
，使得当

（
是自然常数）时，函数
的最小值是3. 若存在，求出
的值；若不存在，说明理由；

　（Ⅲ）当

时，证明：

参考答案与评分标准　

一、选择题（
）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9



答案

D

B

B

A

D

D

C

C

A



二、填空题（
）

10．7； 11．
； 12．5820 ; 13．5； 14.
； 15．
, 4．

三、解答题：

16解：（Ⅰ）由题意可知
， ∴
＝450（人）……………3分

（Ⅱ）由题意知，肥胖学生人数为
（人）。 设应在肥胖学生中抽取
人，

则
， ∴
（人） 答：应在肥胖学生中抽10名…………6分

（Ⅲ）由题意可知，
，且
，
，满足条件的

（
，
）有（243，257），（244，256），…，（257，243），共有15组。

设事件A：“肥胖学生中男生不少于女生”，即
，满足条件的（
，
）

（243，257），（244，256），…，（250，250），共有8组，所以

。答：肥胖学生中男生不少于女生的概率为
…………12分

17．(Ⅰ)证明：
两边同除以
得：

所以数列
是以1为首项，2为公差的等差数列…………3分

于是
，
…………………6分

（Ⅱ）由(Ⅰ)，
则

=
=
……………12分

18解:（Ⅰ）
函数
可以近似地看做
，

由数据知它的周期
，振幅
，
…………3分

，
. 故
…………………6分

（Ⅱ）该船进出港口时，水深应不小于
，而在港口内，永远是安全的，

由
得
……………9分

在同一天内，取
……………………11分

故该船最早能在凌晨1时进港，最迟在下午17时离港，在港口内最多停留16小时.

……………12分

19（Ⅰ）证明：
PA⊥面ABCD,BC在面ABCD内，

∴ PA⊥BC BA⊥BC,PA∩BA=A,∴BC⊥面PAB，

又∵AE在面PAB内∴ BC⊥AE
AE⊥PB,BC∩PB=B,

∴AE⊥面PBC又∵PC在面PBC内
AE⊥PC,
AF⊥PC, AE∩AF=A, ∴PC⊥面AEF …………………6分

（Ⅱ） PC⊥面AEF, ∴ AG⊥PC,
AG⊥DC ∴PC∩DC=C AG⊥面PDC,

∵GF在面PDC内∴AG⊥GF
△AGF是直角三角形，

由（1）可知△AEF是直角三角形，AE=AG=
,EF=GF=
∴
,
又AF=
,∴
, PF=

∴
……………13分

20解：（Ⅰ）
....................2分

在
与
处都取得极值

∴
，
， ∴
解得：
.............4分

当
时，
，

所以函数
在
与
处都取得极值.

∴
..................7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：函数
在
上递减，

∴
................. 9分

又 函数
图象的对称轴是

（1）当
时：
，依题意有
成立， ∴

（2）当
时：
， ∴
，即
， 解得：
又∵
，∴

（3）当
时：
，∴
，
， 又
，∴

综上：

所以，实数
的取值范围为
..................... 13分

21解：（Ⅰ）由椭圆的方程知
，
点
，
，设F的坐标为
，

是
的直径，
，
........... 2分

解得
，
椭圆离心率
....... 4分

（Ⅱ）

过点
三点，
圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，FC的垂直平分线方程为
①

的中点为
，
的垂直平分线方程为
②

由①②得
，即
...................7分.

在直线
上，
,
。

由
得
，
椭圆的方程为