福州三中2013届高三高考模拟考 数学（文科）试卷

本试卷共150分，考试时间120分钟

注意事项：

(1) 答卷前，考生务必用0.5mm黑色签字笔将自己的班级、姓名、座号填写在试卷和答 卷的密封线外。

请考生认真审题，将试题的答案正确书写在答卷上的指定位置，并认真检查以防止漏答、错答。

考试中不得使用计算器。

参考公式：

球的表面积公式
棱柱的体积公式

球的体积公式
棱锥的体积公式

棱台的体积公式

其中
分别表示棱台的上、下底面积，
表示棱台的高

其中
表示球的半径，其中
表示棱柱（锥）的底面积，
表示棱柱（锥）的高

如果事件
互斥，那么

选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．设i是虚数单位，则复数
=（ ）

A．-1 B．1 C．
D．

3. 命题“
，都有ln(x2+1)>0”的否定为（ ）

(A)
，都有ln(x2 +1)≤0 (B)
，使得ln(x02+1)>0

(C)
，都有ln(x2+l)<0 (D)
，使得ln(x02+1)≤0

4．已知
是直线，
是平面，且
，则“
”是“
”

的（ ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．阅读程序框图(如右图），如果输出的函数值在区间[
，1]上，则输

入的实数x的取值范围是（ ）

A.
　 　 B.［－2,0］ C.［0,2］　　D.

6．在等差数列
中，
，则数列
的前9项和等于（ ）

A．3 B． 9 C．6 D．12

7．设
，是变量
和
的
个

样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到

的线性回归方程(如图），以下结论中正确的是（ ）

A．
和
正相关

B．
和
的相关系数为直线l的斜率

C．
和
的相关系数在－1到0之间

D．当
为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同

8. 已知函数y=2sin2（
则函数的最小正周期T和它的图象的一条对称轴方程是（ ）

A．T=2
，一条对称轴方程为
B．T=2
，一条对称轴方程为

C．T=
，一条对称轴方程为
D．T=
，一条对称轴方程为

9．函数
的图像恒过定点
，若点
在直线
上，则
的最小值为( )

A．
B．
C．
D．

10．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )

A．5 B．6 C．7 D．8

11．函数
的图象大致为（ ）

12. 已知
是虚数单位，记
，其中
，给出以下结论：

①
②
③
，则其中正确结论的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在相应横线上．

13． 已知向量
向量
，设函数
则函数
的零点个数为 ．

14．若圆
的一条弦AB的中点为P（O，1），则垂直于AB的直径所在直线的方程为 ．

15．若x,y满足
仅在点（1，0）处取得最小值，则实数
的

取值范围是 ．

16．已知命题：在平面直角坐标系
中，
的顶点
和
，顶点B在椭圆
上，则

（其中
为椭圆的离心率）．试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题是 ．

三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（本题12分）已知函数
，数列
的前
项和为
，点
均在函数
的图象上.

(I) 求数列
的通项公式
；

(II)若
，求数列
的前
项和
.

18．（本题12分）某市为了配合宣传新《道路交通法》举办有奖征答活动,随机对该市
岁的人群抽样了
人,回答问题统计结果如图表所示.（左图是样本频率分布直方图，右表是对样本中回答正确人数的分析统计表）.

(Ⅰ)分别求出
的值；

(Ⅱ)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,有奖征答活动组委会决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖,求获得幸运奖的2人来自不同年龄组的概率.

19．（本题12分）如图三棱柱
中, 侧棱与底面垂直，
是等边三角形, 点
是
的中点.

(Ⅰ)证明：
平面
；

(Ⅱ)若在三棱柱
内部（含表面）随机投放一个点

，求点
落在三棱锥
内部（含表面）的概率.

20. （本题12分）如图所示扇形
,半径为
，
, 过半径
上一点
作
的平行线，交圆弧
于点
.

(Ⅰ)若
是
的中点,求
的长；

(Ⅱ)设
,求△
面积的最大值及此时
的值.

21. （本题12分）已知椭圆
的中心在坐标原点
,焦点在
轴上,离心率
且经过点
.

(Ⅰ)求椭圆
的方程；

(Ⅱ) 设平行于
的直线
交椭圆
于两个不同点
,直线
与
的斜率分别为
；

① 若直线
过椭圆的左顶点，求
的值；

② 试猜测
的关系；并给出你的证明.

22. （本题14分）已知函数
．

（I）求函数
的极值；

（Ⅱ）证明：存在
，使得
；

（Ⅲ）记函数y=
的图象为曲线
．设点
，
是曲线
上的不同两点．如果在曲线
上存在点
，使得：①
；②曲线
在点
处的切线平行于直线
，则称函数
存在“中值伴随切线”，试问：函数
是否存在“中值伴随切线”，请说明理由．

福州三中2013届高三高考模拟考

数学（文史类）参考答案

选择题：

填空题：

13．1 14．
15．

16．在平面直角坐标系
中，
的顶点
和
，顶点B在双曲线
上，则
（其中
为双曲线的离心率）．

三．解答题：

17．(I)
点
在函数
的图象上，

即
，
时

时
，故
即
.

(II)

，

18．(Ⅰ)由第1组数据知该组人数为
，因为第1组的频率是
，

故
；因为第2组人数为
，故
；因为第3组人数为
，故
；因为第4组人数为
，故
；因为第5组人数为
，故
.

(Ⅱ)第2,3,4组回答正确的人的比为
，故这3组分别抽取2人，3人，1人.设第2组为
，第3组为
，第4组为
；则随机抽取2人可能是

，共15种.其中来自不同年龄

组的有

共11种，

故获得幸运奖的2人来自不同年龄组的概率是
.

19．(Ⅰ)连接
，交
于点
，连接
，在
中
是中位线，故

，

平面
.

(Ⅱ)设底面边长为
，侧棱长为
，则
，因为点
是
的中点，过
作
的垂线交
于
，有
=
，故
，所以点
落在三棱锥
内部（含表面）的概率
.

20．(Ⅰ)

，
，若
是
的中点，则在
中，
即
，解得
.

(Ⅱ) 由正弦定理
，
所以

，

.

21. (Ⅰ)设椭圆方程为
，依题意有：
，

解得
，所以椭圆
的方程为
.

(Ⅱ) ①若直线
过椭圆的左顶点且直线
平行于
，则直线的方程是
，

联立方程组
，解得
，

故
.

②因为直线
平行于
,设在
轴上的截距为
,又
,所以直线
的方程为
.

由
得
.设
、
,则
. 又

故

.

又
,

所以上式分子

，

故
.所以直线
与直线
的倾斜角互补.

22．（I）

，
，

时

时
故
时
有极大值1，无极小值．

(Ⅱ)构造函数：

，

由（I）知
，故
，又
，所以函数
在区间
上存在零点．即存在
，使得
．

（Ⅲ）

，

假设存在“中值伴随切线”，则有
，可得
，

令
，则
，构造

有
恒成立，故函数
单调递增，无零点，

所以函数