湖南省怀化市2013届高三第三次模拟考试统一检测试卷

数 　学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上.

1.已知全集
,集合
，

，则图中阴影部分

所表示的集合为

.

.

.

.

2.一个空间几何体的正视图、侧视图均为两个边长是1的正方形，俯

视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于

．

．

．

．

3.已知条件
：
，条件
：
，则
是
的

．充分不必要条件
．必要不充分条件

．充要条件
．既非充分也非必要条件

4.如图，区域
由
轴，直线
及曲线
(
)围成，假设随机向该区域内投点，该点落在区域内每个位置是等可能的.现随机向区域投一点
，则直线
的斜率小于
的概率是

．

．

．

．

5.已知变量
满足
，若
恒成立，则实数
的取值范围为

．

．

．

．

6.已知
是单位圆（圆心在坐标原点
）上任意一点，且射线
绕
点逆时针旋转
到
交单位圆于点
，则
的最小值为

．

．

．

．

7．过双曲线
的左焦点
，作圆
的切线，切点为
，延长
交双曲线右支于点
，若
，则双曲线的离心率为

.

.

.

.

8.定义方程
的实数根
叫做函数
的“新驻点”，若函数
，

的“新驻点”分别为
，则
的大小关系为

.

.

.

.

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题:本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.

（一）选作题（请考生在9、10、11三题中任选2题作答，如果全做，则按前2题记分）

9.若正数
满足
，则
的最小值为 .

10. 直线
的参数方程是
（其中
为参数），若原点
为极点，
正半轴为极轴，圆
的极坐标方程为
，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是 .

11.如图，已知
是
的外角
的平分线，交
的延长线于点
，延长
交
的外接圆于点
，
，
,
，则
的长= .

（二）必作题（12~16题）

12.复数
的共轭复数是 .

13．在
中，
，
，
,则
在

方向上的投影为 _.

14.已知某算法的流程图如右上图所示，输出的
值依次记为
，
若程序运行中输出的一个数组是
，则
．

15. 2013年4月20日，雅安市发生了7.0级地震，现派一支由5人组成的先锋救援队到该市3所学校进行紧急救灾，若每所学校至少1人，则不同的安排方案共有＿＿＿种（用数字作答）.

16.已知集合
．对于

，
，
与
之间的距离为
．

（1）当
时，设
，
．若
，则
；

（2）记
．若
、
，且
，则
的最大值为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，根据现行国家标准GB3095 – 2012，
日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米 ～75毫克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标. 从某自然保护区2012年全年每天的
监测值数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：

（Ⅰ）从这10天的
日均值监测数据中，随机抽取3天，求恰有1天空气质量达到一级的概率；

（Ⅱ）从这10天的数据中任取3天数据，记
表示抽到
监测数据超标的天数，求
的分布列；

（Ⅲ）以这10天的
日均值来估计一年的空气质量状况，记一年（按366天算）中空气质量达到一级或二级的天数为
，求
的数学期望(视频率为概率).

18．（本小题满分12分）

图1，矩形
中，已知
，
,
、
分别为
和
的中点，对角线
与
交于
点，沿
把矩形
折起，使平面
与平面
所成角为
，如图2

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求
与平面
所成角的正弦值.

19．（本小题满分12分）

若某地区每年各个月份降水量发生周期变化.现用函数
近似地刻画.其中：正整数
表示月份且
，例如
时表示1月份，
和
是正整数，
.统计发现，该地区每年各个月份降水量有以下规律：

①各年相同的月份，该地区降水量基本相同；

②该地区降水量最大的8月份和最小的12月份相差约400
；

③2月份该地区降水量约为100
，随后逐月递增直到8月份达到最大.

（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的
的表达式；

（2）一般地，当该地区降水量超过400
时，该地区进入了一年中的“汛季”，那么一年中的哪几个月是该地区的“汛季”？请说明理由.

20. （本小题满分13分）

已知各项均为正数的数列
满足
, 且
,其中
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
，数列
的前
项和为
,其中
,证明：
.

21．（本小题满分13分）

已知圆
:
，圆
：
动圆
与圆
内切，与圆
外切.记动圆
的圆心轨迹为曲线
，若动直线
与曲线
相交于
、
两点，且
,其中
为坐标原点.

（Ⅰ）求曲线
的方程.

（Ⅱ）设线段
的中点为
，求
的最大值.

22．（本小题满分13分）

设函数
，其中
．

( I )若函数
图象恒过定点
，且点
关于直线
的对称点在
的图象上，求
的值；

(Ⅱ)当
时，设
，讨论
的单调性；

(Ⅲ)在(I)的条件下，设
，曲线
上是否存在两点
、
，使

(
为原点)是以
为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在
轴上？如果存在，求
的取值范围；如果不存在，说明理由

参考答案与评分标准

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

A

C

C

A

D

D

D



一、选择题（
）

二、填空题（
）

选做：9．
； 10．10； 11．
；

必做：12．3； 13．24； 14．
； 　15．2； 　16．－24 ， －1080 .

三、解答题：

17解：(Ⅰ)
=
………………. 3分

当

即
时，.

f(x)取得最小值
，f(x)的最小正周期为π.…………………6分

(Ⅱ)由
得

由余弦定理得
…………………8分

由向量
=（1，sinA）与向量
共线，得sinB=2sinA

由正弦定理得b=2a…………………10分

解方程组
得a=1,b=2…………………12分

18解：（Ⅰ）由题意知，
组频率总和为
，故第
组频率为
，

所以
………………2分

总的频数为
，因此第
组的频数为
，即
…………4分

（Ⅱ）第
组共
名学生，现抽取
人，因此第
组抽取的人数为：
人，第
组抽取的人数为：
人，第
组抽取的人数为：
人……………7分

公平：因为从所有的参加自主考试的考生中随机抽取
人，每个人被抽到的概率是相

同的……………8分（只写“公平”二字，不写理由，不给分）

（Ⅲ）
的可能取值为

的分布列为：

……………12分

19（Ⅰ）证明：连结OC

在
中，由已知可得

而

即