台州中学2012学年第二学期第四次统练试题

高三 数学（理）

命题人：高三数学备课组

本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

参考公式：

如果事件
互斥，那么 柱体的体积公式

如果事件
相互独立，那么 其中
表示柱体的底面积，
表示柱体的高m]
锥体的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是
，

那么
次独立重复试验中事件
恰好发生
其中
表示锥体的底面积，
表示锥体的高

次的概率

球的表面积公式

台体的体积公式

球的体积公式

其中
分别表示台体的上、下底面积，

表示台体的高 其中R表示球的半径

选择题部分（共50分）

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数
(
是虚数单位)在复平面上对应的点位于 （　　 ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．若集合
,则“
”是“
”的 （　　 ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm）。可得这个几何体的体积是 ( )

A．
B．

C．
D．

4. 二项式
的展开式中常数项为 （　 　）

A. 5 B. 10 C.
D. 40

5.将函数
的图象F向右平移
，再向上平移3个单位，得到图象F′,若F′的一条对称轴方程是
,则
的一个可能取值是 （　 　）

A.
B.
C.
D.

6. 一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为a，与对手踢平（得1分）的概率为b,负于对手（得0分）的概率为
.已知该足球队进行一场比赛得分的期望是1，则
的最小值为 ( )

A.
B.
C.
D.

7．已知函数
，且实数
满足
，若实数
是函数
=
的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是 （ ）

A．
B．
C．

D．

8．已知点
是
的重心,

若
,
,则
的最小值是 （　　 ）

A．
B．
C．
D．

9.点P在双曲线
上，
是这条双曲线的两个焦点，
，且
的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（　　 ）

A.
　 　 　B.
　 　 　 C.
　　 　 　D.

10.已知
符号
表示不超过
的最大整数，若函数
有且仅有3个零点，则
的取值范围是 （ 　 ）

A．
　　　B．
C．
D．

非选择题部分（共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11.已知
，则
___________.

12. 已知函数
满足
=1 且
，则
=________.

13．执行右面的框图，若输出p的值是720，则输入的正整数N应该是_________.

14．设
满足约束条件
，若目标函数
的最大

值为6，则
______.

15．三位老师和三名学生排成一排照相,学生甲必须排在三位老师的左边,共有__________种排法.（用数字作答）

16.圆
的方程为
，圆
的方程
,

,过
上任意一点P作圆
的两条切线PM、PN，切点分别为M、N，则∠MPN最大值为___________.

17．四面体ABCD中，AD与BC互相垂直，AD＝2BC＝4，且AB＋BD＝AC＋CD＝2
，则四面体ABCD的体积的最大值是__________.

三、解答题本大题共5小题．共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本小题满分14分）已知向量
，设函数
＋1

（1）若
，
,求
的值；

（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是
，且满足
，求
的取值范围．

19.（本小题满分14分）已知数列
的首项
（
是常数，且
），

，数列
的首项
，

证明：
从第2项起是以2为公比的等比数列；

设
为数列
的前n项和，且
是等比数列，求实数
的值.

20．（本小题满分14分）如图，四棱锥
中，底面
为平行四边形，
，
，
⊥底面
.

(1)证明：平面
平面
；

(2)若二面角
为
，求
与平面
所成

角的正弦值.

21．（本小题满分15分）已知圆
：
（
）.若椭圆
：
（
）的右顶点为圆
的圆心，离心率为
.

（1）求椭圆
的方程；

（2）若存在直线
：
，使得直线
与椭圆
分别交于
，
两点，与圆
分别交于
，
两点，点
在线段
上，且
，求圆
半径
的取值范围.

22．(本小题满分15分)已知
,函数
，
（
为自然对数的底数），

（1）求证：
；

（2）若
且
恒成立，则称函数
的图像为函数
，

的边界.已知函数
，试判断“函数
，
以函数
的图像为边界”和“函数
，
的图像有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立？若能同时成立，请求出实数
的值；若不能同时成立，请说明理由.

台州中学2012学年第二学期第四次统练参考答案

高三 数学（理）

BACDB ADCDC

1023 6 2 180
4

18．解：
……………………4分

∵
,∴
；又∵
，∴
，即

………7分

……………11分

∴
，即
……14分

19．解：(1)
,由
，得
,

,因为
，所以
，即
从第2项起是以2为公比的等比数列。

………………7分

（2）
，当
时，
，因为
是等比数列，故
为常数，因为
，故
…………14分

20．解：（1）∵
∴

又∵
⊥底面
∴

又∵
∴
平面

而
平面

∴平面
平面
……………6分

（2）由（1）所证，
平面

所以∠
即为二面角P-BC-D的平面角，即∠

而
，所以
…………………………………………9分

分别以
、
、
为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系。

则
，
，
，

所以，
，
，

设平面
的法向量为
，则

即
可解得

∴
与平面
所成角的正弦值为
……………14分

21．解：（I）设椭圆的焦距为
，

因为
，
，所以
，所以
. 所以椭圆
：
……4分

（II）设
（
，
），
(
，
)

由直线
与椭圆
交于两点
，
，则

所以
，则
，
………………6分

所以
………………7分

点
（
，0）到直线
的距离

则
………………10分

显然，若点
也在线段
上，则由对称性可知，直线
就是
轴，矛盾，所以要使
，只要

所以

………………12分

当
时，
………………13分

当
时，

又显然
, 所以

综上，
………………15分

22．（1）记
则
令
，因为