湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三五月第二次模拟考试

数学（文）试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．如果复数
(其中
)的实部与虚部互为相反数，则
＝( )

A．2 B．
C．
D． 1

2．已知命题
：
，
．则
是( )A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

3．“
”是“直线
垂直”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4. 样本中共有5个个体，其中四个值分别为0，1，2，3，第五个值丢失，但该样本的平均

值为1，则样本方差为（　　 ）

　 A．
　　 B．
　 C．
　　 D．2

5．若函数
的图象如右图1，其中
为常数．则函数

的大致图象是（ ）



A． B． C． D．

6．已知
若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

7．在平行四边形
中，
点
在
边上，
则
（ ）

A．
B． 1 C．
D．

8．设
,
，若
，
，则
的最大值为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

9．已知函数
是偶函数，且
，当
时，
，

则方程
在区间
上的解的个数是（ ）

A．8 B．9 C．10 D．11

10．已知
分别是椭圆
的左、右焦点，
是椭圆上一动点，圆
与
的延长线、
的延长线以及线段
相切，若
为一个切点，则（ ）

A．
B．

C．
D．
与2的大小关系不确定

二、填空题：本大题共7小题，考生共需作答7小题，每小题
分，共
分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，书写不清楚，模棱两可均不得分．

11．一个学校高三年级共有学生600人，其中男生有360人，女生有240人，为了调查高三学生的复习状况，用分层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为50的样本，应抽取女生 人．

12．在面积为1的正方形
内部随机取一点
，则
的面积大于
的概率是_________．

13．已知集合
，
,且
,则
_________．

14．执行如右下图所示的程序框图，若输入
，则输出
的值为 ．

15．已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为 ．




正视图 侧视图



俯视图

（第15题图） （第14题图）

16．设
，其中
满足约束条件
，若
的最小值
，则

（Ⅰ）k的值为 ；（Ⅱ）
的最大值为 ．

17．在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有__________颗珠宝；则第
件首饰所用珠宝总数为________________颗.(结果用
表示)

三、解答题：本大题共5小题，共
分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本题满分12分）

在等差数列
中，
，其前
项和为
，等比数列
的各项均为正数，
，公比为
，且
．

（Ⅰ）求
与
；

（Ⅱ）数列
满足
，求
的前
项和
．

19．（本题满分12分）

在如图所示的组合体中，三棱柱
的侧面
是圆柱的轴截面，
是圆柱底面圆周上不与
、
重合的一个点．

（Ⅰ）求证：无论点
如何运动，平面

平面
；

（Ⅱ）当点
是弧
的中点时，求四棱锥
与圆柱的体积比．

20．（本题满分13分）

如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC．该曲线段是函数
时的图象，且图象的最高点为
,赛道的中间部分为长
千米的直线跑道CD，且
//
；赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧
．

(Ⅰ)求
的值和
的大小；

(Ⅱ)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个

“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在

半径OD上，另外一个顶点P在圆弧
上，求“矩形

草坪”面积的最大值，并求此时
点的位置.

21．（本题满分14分）

已知函数
的图象为曲线
, 函数
的图象为直线
．

(Ⅰ) 当
时, 求
的最大值；

(Ⅱ) 设直线
与曲线
的交点的横坐标分别为
且
, 求证：
．

22．（本题满分14分）

抛物线
:
上一点
到抛物线
的焦点的距离为3，
为抛物线的四个不同的点，其中
、
关于y轴对称，
，
，
，

，直线
平行于抛物线
的以
为切点的切线．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）证明：
；

（Ⅲ）
到直线
、
的距离分别为
、
，且
，
的面积为48，求直线
的方程．

数学（文）试卷答案及解析

选择填空：BAADD CCBCB

11．20 12．
13．7 14．23 15．

16．1 ，7 17．66,

1．【解析】
，故选B．

2．【解析】特称命题的否定是全称命题，故选A．

3．【解析】若直线
垂直，则
，即
，选A.

4. 【解析】有题意可得第五个值为
，方差为
.选D.

5．【解析】由图1知
故选D．

6．【解析】

选C．

7．【解析】法一：
.

法二：以
为原点，
所在的边分别为
建立平面直角坐标系，则
故选C．

8．【解析】由题意得：
，

故选B．

9．【解析】由题意可得
，
函数的周期是4， 可将问题转化为
与
在区间
有几个交点． 画图知，有10个交点,选C．

10．【解析】设圆C与直线
的延长线、
分别相切于点
则由切线的性质可知：

故选B．

11．【解析】
．

12．【解析】由题意知本题是一个等可能事件的概率，以
为底边，要使
的面积大于
,则为
点到
的距离
，∴概率为

13．【解析】
，

14．【解析】
，∴
，
，
，∴
，
，
，∴输出y，∴
．

15．【解析】该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分
，所以该几何体的体积为
．

16．【解析】作出不等式组表示的平面区域，由题意可知直线
过点

当直线
过点
时，
有最大值

17．【解析】设珠宝数构成了一个数列{an}，则有a1＝1，a2＝a1＋5＝6，a3＝a2＋5＋4＝15，a4＝a3＋5＋2×4＝28，a5＝a4＋5＋3×4＝45，a6＝a5＋5＋4×4＝66，…，

an＝an－1＋5＋4(n－2)，所以an＝a1＋5(n－1)＋4[1＋2＋3＋…＋(n－2)]＝2n2－n.

18．【解答】（Ⅰ）设
的公差为
，

因为
所以
解得
（舍）或
，
．

故
，
．

（Ⅱ）
，

．

19．【解答】（Ⅰ）∵侧面
是圆柱的的轴截面，
是圆柱底面圆周上不与
、
重合的一个点，∴
，

又圆柱母线
(平面
，
(平面
，∴
(
，

又


，∴
(平面
，

∵
(平面
，∴平面

平面
；

（Ⅱ）设圆柱的底面半径为
，母线长度为
，

当点
是弧
的中点时，

,

， ∴
．

20．【解答】（Ⅰ）由条件，得
，
． ∵
，∴
．

∴ 曲线段FBC的解析式为
．

当x=0时，
．又CD=
，∴
．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
．当“矩形草坪”的面积最大时，

点P 在弧DE上，故
．

设
，
，“矩形草坪”的面积为

=
．

∵
，故
取得最大值