江苏省扬州中学高三模拟考试

数 学 试 题 2013.5.17

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.）

1.复数
在复平面上对应的点在第 象限．

2.已知集合
,则
= ．

3.已知直线
：
和
：

，则
的充要条件是
．

4.如图是一个算法的流程图，若输出的结果是31，则判断框中的整数
的值是 ．

5.若命题“
，使得
”为假命题，则实数
的范围 ．

6.已知圆锥的母线长为
，侧面积为
，则此圆锥的体积为___________
．

7.已知
是等差数列
的前
项和，若
，
，则数列
的前20项和为 ．

8.已知奇函数
的图像关于直线
对称，当
时，
，则
＝ ．

9.若点P是曲线y=x2-lnx上的任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为 ．

10.已知
为
的外心，若
，则
等于 ．

11.已知A，B，P是双曲线
上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积
，则该双曲线的离心率为 ．

12.已知
成等差数列，点
在直线
上的射影点为
，点
，则
的最大值为_____________ ．

13.对于实数
，将满足“
且
为整数”的实数
称为实数
的小数部分，用符号
表示．已知无穷数列
满足如下条件：①
；②
．当
时，对任意
都有
，则
的值为 ．

14.已知函数
，若在任意长度为2的闭区间上总存在两点
，使得
成立，则
的最小值为_____________．

二、解答题：（15、16为14分，17、18为15分19、20为16分）

15.己知在锐角ΔABC中，角
所对的边分别为
，且

（1）求角
大小；

（2）当
时，求
的取值范围．

[来源:Z&xx&k.Com][来源:学+科+网][来源:学科网ZXXK]

16.如图,在四棱锥
中,四边形
是菱形,
,
为
的中点.

(1)求证:
面
；

(2)求证:平面
平面
.

17．在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形),其中矩形
的三边
、
、
由长6分米的材料弯折而成,
边的长为
分米(
)；曲线
拟从以下两种曲线中选择一种:曲线
是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为
),此时记门的最高点
到
边的距离为
；曲线
是一段抛物线,其焦点到准线的距离为
,此时记门的最高点
到
边的距离为
.

(1)试分别求出函数
、
的表达式；

(2)要使得点
到
边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少?

18．已知椭圆
的左右焦点分别为
，短轴两个端点为
，且四边形
是边长为2的正方形．

（1）求椭圆的方程；

（2）若
分别是椭圆长轴的左右端点，动点
满足
，连接
，交椭圆于点
．证明：
为定值；

（3）在（2）的条件下，试问
轴上是否存在异于点
的定点
，使得以
为直径的圆恒过直线
的交点，若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．

19. 已知函数
,且

(1) 试用含
的代数式表示
，并求
的单调区间；

（2）令
,设函数
在
处取得极值，记点M (
,
)，N(
,
)，P(
),
,若线段MP与曲线f(x)有异于M，P的公共点，试确定
的取值范围。

20.已知直角
的三边长
，满足

（1）在
之间插入2011个数，使这2013个数构成以
为首项的等差数列
，且它们的和为
，求
的最小值；

（2）已知
均为正整数，且
成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列
，且
，求满足不等式
的所有
的值；

（3）已知
成等比数列，若数列
满足
，证明：数列
中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且
是正整数.

附加题部分

21．[选做题] 在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.

A.（选修4—1：几何证明选讲）

如图，
的半径
垂直于直径
，
为
上一点，
的延长线交
于点
，过
点的圆的切线交
的延长线于
.

求证：
.

B．（选修4—2：矩阵与变换）

已知矩阵
，若矩阵
对应的变换把直线
：
变为直线
，求直线
的方程.

C．（选修4—4：坐标系与参数方程）

在极坐标系中，圆
的方程为
，以极点为坐标原点，极轴为
轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线
的参数方程为
（
为参数），求直线
被
截得的弦
的长度.

D.（选修4—5：不等式选讲）

已知
均为正数，求证：
.

[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.

22.由数字1，2，3，4组成五位数
，从中任取一个．

（1）求取出的数满足条件：“对任意的正整数
，至少存在另一个正整数
，且
，使得
”的概率；

（2）记
为组成该数的相同数字的个数的最大值，求
的概率分布列和数学期望．

23.记
的展开式中，
的系数为
，
的系数为
,其中

(1)求

（2）是否存在常数p,q(p

5月20日高三数学试卷答案

一、填空题

1. 四 　2.
3.
4. 4 5.
6.
7.55

8.
9.  10.
11.
12.
13.
或
14.

二、解答题

15.（1）由已知及余弦定理，得
……………4分

因为
为锐角，
所以

…………………………………6分

16. （1）证明:设
,连接EO,因为O,E分别是BD,PB的中点,所以
………4分

而
,所以
面
…………………………………………………7分

(2)连接PO,因为
,所以
,又四边形
是菱形,所以
…………10分

而
面
,
面
,
,所以
面
…………………………13分

又
面
,所以面
面
………………………………………………………14分

17. 解:(1)对于曲线
,因为曲线
的解析式为
,所以点D的坐标为
…2分

所以点
到
的距离为
,而
,则

……………4分

对于曲线
,因为抛物线的方程为
,即
,所以点D的坐标为
……6分

所以点
到
的距离为
,而
,所以
…………8分

(2)因为
,所以
在
上单调递减,所以当
时,
取得最大值为
……………………………………………10分

又
,而
,所以当
时,
取得最大值为
…………………12分

因为
,所以
, 故选用曲线
,当
时,点
到
边的距离最大,最大值为
分米……………………………15分

18. 解：（1）
，
，
椭圆方程为
．…4分

（2）
，设
，则
．

直线
：
，即
，……………………………5分

代入椭圆
得
．…………………………6分

，
．

，………………………………………………8分

（定值）．………………………10分

（3）设存在
满足条件，则
．

，
，…………………………13分

则由
得
，从而得
．

存在
满足条件．…………………………………………………………15分

19. 解：(Ⅰ)依题意,得
，由
.

从而

令

①当a>1时,

当x变化时，
与
的变化情况如下表：

x











+

－

+





单调递增

单调递减

单调递增



由此得，函数
的单调增区间为
和
，单调减区间为
。

②当
时，
此时有
恒成立，且仅在
处
，故函数
的单调增区间为R

③当
时，
同理可得，函数
的单调增区间为
和
，单调减区间为

综上：当
时，函数
的单调增区间为
和
，单调减区间为
；

当
时，函数
的单调增区间为R；

当
时，函数
的单调增区间为
和
，单调减区间为
.

（2）由
得
，
，得

由（1）得的
单调增区间为
和
，单调减区间为
，故M(
).N(
)。直线MP的方程为

由

得

线段MP与曲线
有异于M，P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数

上有零点.

因为函数
为三次函数,所以
至多有三个零点,两个极值点.

又
.因此,
在
上有零点等价于
在
内恰有一个极大值点和一个极小值点,即
内有两不相等的实数根.

等价于
即

又因为
,所以m 的取值范围为

20. 解：（1）
是等差数列，∴
，即
.………2分

所以
，
的最小值为
；……………………………4分

（2）设
的公差为
，则

……5分

设三角形的三边长为
，面积
，
，

.………………………………7分

由
得
， 当
时，

，经检验当
时，
，当
时，
.………9分

综上所述，满足不等式
的所有
的值为2、3、4.……………10分

（3）证明：因为
成等比数列，
.

由于
为直角三角形的三边长，知