黑龙江省大庆一中2013届高三第三次模拟考试数学理科试卷

数学试题（理工类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1．若复数
满足
（其中
是虚数单位），则
的实部为（ ）

（A）6 （B）1 （C）
（D）

已知集合A={x|(a2-a)x+1=0，x∈R}，B={x|ax2-x+1=0，x∈R},若A∪B=
，则a的值为 ( )

A．0 B．1 C．0或1 D．0或4

直线
的方向向量为
且过抛物线
的焦点，则直线
与抛物线围成的封闭图形的面积为（ ）

A.
B.
C.
D.

4.已知一个空间几何体的三视图如右图所示，根据图中

标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )

A．4 cm3 B．5 cm3 C．6 cm3 D．7 cm3

5. 要得到函数y=
cosx的图像，只需将函数y=
sin(2x+
)的图像上所有的点的 ( )

A.横坐标缩短到原来的
倍(纵坐标不变)，再向左平行移动
个单位长度

B．横坐标缩短到原来的
倍(纵坐标不变)，再向右平行移动
个单位长度

C．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动
个单位长度

D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动
个单位长度

6.如图,若程序框图输出的S是126,则判断框①中应为?（ ）

A．
B．

C．
D．

7.已知


，则
的最大值 为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D.

8.已知正方体
的棱长为2, 长为2的线段
的一个端点
在棱
上运动, 另一端点
在正方形
内运动, 则
的中点的轨迹的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

9.在
中,角A,B,C的对边分别是
,且
则
等于( )

B.
C.
D.

10.如图是函数
的图象的一部分,设函数
=
,
,则
大致是（ ）

10题图 12题图

A.
B.
C.
D.

已知
是定义在R上的不恒为零的函数,且对任意的
都满足
,若
,则( )

B.
C.
D.

12．
是定义在区间【-c，c】上的奇函数，其图象如图所示,令
，则下列关于函数
的叙述正确的是（ ）

A．若
，则函数
的图象关于原点对称

B．若
，
，则方程
必有三个实根

C．若
，
，则方程
必有两个实根

D．若
，
，则方程
必有大于2的实根

第II卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．双曲线
中，F为右焦点，A为左顶点，点B(0，b)且AB⊥BF，则此双曲线的离心率为________．

14.已知
则
________.

15.
展开式的常数项为 ．

16．定义在R上的连续函数
对任意x满足f（3-x）=f（x），
，

则下列结论正确的有

① 函数
为偶函数， ② 若
，则

③
④ 若
，则
有两个零点

三、解答题 共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知数列{an}的首项为a1=1，前n项和为Sn，并且对于任意的n≥2，3Sn-4、an、2-
总成等差数列．

(1)求{an}的通项公式；

(2)记数列{Sn}的前n项和为Tn求Tn．

18.（本小题满分12分）

某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N(168，16).现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm和184 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组 [160，164]，第二组[164，168]，…，第6组[180，184]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（Ⅰ）试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况；

（Ⅱ）求这50名男生身高在172 cm以上（含172 cm）的人数；

（Ⅲ）在这50名男生身高在172 cm以上（含172 cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全市前130名的人数记为
，求
的数学期望．

参考数据：若
，则

=0.6826，

=0.9544,

=0.9974.

19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥S － ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA =AB=BC =2，AD =1．M是棱SB的中点．

（Ⅰ）求证：AM∥面SCD；

（Ⅱ）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；

（Ⅲ）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为
，求sin
的最大值，

20.（本小题12分）已知函数
(
R).

(1)当
时，求
在区间
上的最大值和最小值；

(2)如果函数
，在公共定义域
上，满足
，那么就称
为
的“活动函数”．

已知函数
.若在区间
上，函数
是
的“活动函数”，求
的取值范围;

21、已知椭圆
的离心率
且经过点
，抛物线
的焦点F与椭圆
的一个焦点重合。

(1)过F的直线与抛物线
交于M,N两点，过M,N分别作抛物线
的切线
，求直线
的交点Q的轨迹方程；

（2）从圆O：
上任意一点P作椭圆
的两条切线，切点分别为A,B试问
的大小是否为定值，若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由。

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分。

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，D，E分别为
的边AB，AC上的点，且不与
的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程
的两个根．

（I）证明：C，B，D，E四点共圆；

（II）若
，且
求C，B，D，E所在圆的半径．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线
的参数方程为
为参数），M为
上的动点，P点满足
，点P的轨迹为曲线
．

（I）求
的方程；

（II）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
与
的异于极点的交点为A，与
的异于极点的交点为B，求|AB|.

24．已知
，且
，求
的最小值及取得最小值时
的值

模拟试题Ⅲ 数学（理工类）答案

选择题

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案 A B B A C B A D C B A D

填空题

13.
14.
15.－7 16.①②④

三、解答题

17.法一 解：依题意有

，即

即
，即
，

所以
是以
为首项，以
为公比的等比数列，

所以
，所以

所以
，

所以

法二：可退位作差求得

（2）由（1）可知
所以
＝

＝
.

19.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为

，

高于全市的平均值168（或者：经过计算该校高三年级男生平均身高为168.72，比较接近全市的平均值168）. …………………………………………………………（4分）

（Ⅱ）由频率分布直方图知，后三组频率为（0.02+0.02+0.01）×4＝0.2，人数为0.2×5＝10，即这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数为10人. ……………（6分）

（Ⅲ）

，

，0.0013×100 000=130.

所以，全市前130名的身高在180 cm以上，这50人中180 cm以上的有2人.

随机变量
可取
，于是

,
,

. ………………………………（12分）

（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则

，
，
，
，
，
.

则
.

设平面SCD的法向量是
则

即

令
，则
，于是
.

，
.

AM∥平面SCD. ……………………………………………………（4分）

（Ⅱ）易知平面SAB的法向量为
.设平面SCD与平面SAB所成的二面角为
，

则
，即
.

平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为
.………………………………（8分）

（Ⅲ）设
，则
.

又，面SAB的法向量为
，

所以，
.

.

当
，即
时，
.………………………………………………（12分）

20．（本小题12分）解：（1）当
时，
，

；…………2分

对于
，有
，

∴
在区间[1, e]上为增函数，…………3分

∴
，
. …………5分

（2）①在区间（1，+∞）上，函数
是
的“活动函数”，则

令
<0，对
恒成立，

且
=
<0对
恒成立，

∵
(*) …………7分

1）若
，令
，得极值点
，
，

当
，即
时，在（
，+∞)上有
，

此时
在区间(
，+∞)上是增函数，并且在该区间上有
∈(
，+∞)，不合题意；…………9分

当
，即
时，同理可知，
在区间(1，+∞)上，有

∈(
，+∞)，也不合题意；…………11分

2） 若
，则有
，此时在区间(1，+∞)上恒有
，

从而
在区间(1，+∞)上是减函数；

要使
在此区间上恒成立，只须满足

，

所以

a

.…………12分

又因为

<0,
在(1, +∞)上为减函数，
，
…………14分

综合可知
的范围是
.…………15分

21.（1）由于椭圆
的离心率e=
,则
，
，则
，椭圆
的方程为
将点
代入椭圆
的方程得到c=1,故所求椭圆
的方程为
其焦点坐标为
，则F(0，1),故抛物线
的方程为
……3分

易知直线MN的斜率一定存在，设为k，则直线MN的方程为y=kx+1,代入抛物线的方程得到
。设
，则
……4分

由于
，故直线
的斜率为
，
的方程为
即
，同理可得直线
的方程为
，令
，即
显然
，故
，即点Q的横坐标是
，点Q的纵坐标是

，即点Q（2k,-1）,故点Q的轨迹方程是y=-1 ……6分

（2）当这两条切线中有一条切线的斜率不存在时，根据对称性，不妨设点P在第一象限，则此时点P的横坐标为
，代入圆O的方程得点P的纵坐标是
，因此这两条切线所在的方程分别为
因此
,所以若角APB的大小为定值，则这个定值只能是
（8分）

当这两条切线的斜率都存在时，设点P
，过点P的切线的斜率为，则切线方程为

，由于直线
是椭圆
的切线，故
整理得：
……10分

设切线PA，PB的斜率分别为
，则
是上述方程的两个实根，故
又点P
在圆
上，故
所以
，所以
，……11分

综上可知，角APB的大小为定值，且这个定值为
。……12分

（22）解：

（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，

AD×AB=mn=AE×AC，

即
.又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB

因此∠ADE=∠ACB

所以C，B，D，E四点共圆。

（Ⅱ）m=4， n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12.

故 AD=2，AB=12.

取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.

由于∠A=900，故GH∥AB， HF∥AC. HF=AG=5，DF=
(12-2)=5.

故C，B，D，E四点所在圆的半径为5

（23）解：

（I）设P(x，y)，则由条件知M(
).由于M点在C1上，所以

即

从而
的参数方程为

（
为参数）

（Ⅱ）曲线
的极坐标方程为
，曲线
的极坐标方程为
。

射线
与
的交点
的极径为
，

射线
与
的交点
的极径为
。

所以
.

（24）解：

（5分）

又
，
，当且仅当
时等号成立

当
时，
取得最小值18 （10分）