四川省凉山州2013届高三第三次诊断性测试

数学（理）试题

本试卷分选择题和非选择题两部分。第Ⅰ卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0．5毫米的黑色签字笔填写在答卡 上，并检查条形码粘贴是否正确。

2．选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0．5毫米黑色签字笔写 在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效曰在草稿纸、试卷上答题无效。

3．考试结束后，将答题卡收回。

第Ⅰ卷（选择题，50分）

一、选择题（共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求）

1．若
是虚数单位），则a= （ ）

A．1 B．0 C．一
D．

2．命题
,命题q:函数y=x
是单调递增函数，则下面命题为真命题的是

A．
B．

C．
D．

3．一个正三棱柱的正视图如图所示,已知它的体积为3,则该正三棱柱的高为

A．1 B．

C．3 D．3

4．若y=2x是双曲线
的一条渐近线,则该双曲线的离心率为

A．
B．

C．2 D．

5．程序框图如右图所示，若运行结果输出s=120，则判断框内应填入

A．
B．

C．
D．

6．若点A
、
是函数y =f（x）=sin（
）的两个相邻零点，则

A．-1 B．1 C．0 D．

7．一个球的体积、表面积分别为V、S，若函数V =
是
的导函数，则
=（ ）

A．
B．
C．1 D．

8．设集合I=[3，4，5，6，7，8，9]，A={8，9}，则满足
,且
中的集合B的个数为

A．160 B．96` C．64 `D．128

9．设集合
，则集合
AB对应图形面积取得最小值时，m+n的值为 （ ）

A．
B．
C．6 D．8

10．在正方体A1B1C1D1－ABCD中，给出以下命题：

①平面A1BD∥平面D1B1C；

②存在无数条直线，它与该正方体的六个表面所在平面所成的角都相等；

③不存在平面，与该正方体的六个表面所在平面所成的锐二面角的大小都相等；

④AD1与平面A1BD所成角的正弦值为
。

其中真命题的个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题（共5个小题，每小题5分，共25分）

11．若ab= -2，则a2+b2－1的最小值为_____________．

12．在边长为3的正方形ABCD中，点P，Q分别在边CD、BC上，满足DP= 1，CQ=QB．

则∠PAQ的大小是_____________．

13．已知点A（1．0），点B是y轴正半轴上一点，若I是△AOB（O是坐标原点）的内心，且

·
，则△AOB内切圆的标准方程是 。

14．集合A=

，从集合B中任选一个元素，

也是集合A的元素的概率是_____________．

15．若有穷数列
同时满足：

（1）
；（2）
；则称数列
为n阶好数列．

给出以下命题（以下数列项数都大于或等于3）：

①小存在有穷常数列，它是好数列；

②存在等差数列，它是好数列；

③若有穷等比数列
是2k阶好数列（k≥2），则它的公比只能等于－l；

④存在各项非负的2013阶好数列．

以上所有正确命题的序号为 。

三、解答题（共6个小题，共75分）

16．（12分）在△ABC中，
。

（1）求角C的大小；

（2）若
且ABC成等差数列，求
的值

17．（12分）在某校，一学科的学习由必修、选修两门课程组成，对某层次学生调查统计知，有且仅有一门课程获得学分概率为
，至少一门课程获得学分的概率为
．规定两门课程都获得学分该学科才能结业．已知必修课程获得学分的概率大于选修课程获得学分的概率且互不影响．

（1）对该层内的A同学，该学科能结业的概率是多少？

（2）在该层次的同学中随机抽取5名，记X为其中能结业的学生数，求X的期望EX与方差DX。

18．（12分）如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F．

（1）求证：AF⊥SC;

（2）若SA=AB=BC=2，求平面AEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

19．（12分）等比数列
的前n项、前2n项、前3n项之和分别为A、B、C。

（1）证明：A2+B2=A（B+C）;

（2）若对任意n∈N*，A、B、C成等差数列，证明：
是常数列．

20．（13分）已知圆心为F1的圆：（x+
点F2
，点P是圆F1上任意一点袁线段

PF2的垂直平分线与线段F1P相交于点Q．

（1）求动点Q的轨迹E的方程；

（2）若直线x=m（-1
m
0）与圆x2+y2=4及轨迹E分别相交于C、D（C、D两点纵坐标都为正数）， 定点M（-8，0），直线MC与圆x2+y2=4相交于另一点A；直线MD与轨迹E相交于另一点B．

求证：
·
为定值．

21．（14分）设f（x）=
．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）证明：
时，函数f（x）在（0，+
）上没有零点；

（3）设F（x）=f（x）－
（a>0，x>0）．A（x1y1）B（x2，y2）、C（x3，y3）依次是函数F（x）的图象上从左至右的三点． 证明：△ABC是钝角三角形．