安徽省潜山中学2012—2013学年度最后一卷

数 学 试 题（理科）

本卷满分：150分，试卷用时：120分钟

第I卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.

1．设集合
，集合
，则

A．
B．
C．
D．

2．各项都是正数的等比数列
中,
，则公比

A.
B.
C.
D.

3．已知复数
若
为实数，则实数
的值为

A．
B．
C．
D．

4．“
”是“
展开式的第三项系数为
”的

A．必要非充分条件 B。充分非必要条件

C．充要条件 D。既不充分也不必要条件

5．
的值为 A. 1 B.
C.
D.

6．已知
是双曲线


，
的左、右焦点。若P为双曲线右支上一点，满足
，
，则该双曲线的离心率是

A．
B．2 C．
D．

7．一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，

当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为

A．
B．
C．
D．

8．己知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，其前n项和为Sn，若直线y = a1x
与圆（x－2）2+ y2 =4的两个交点关于直线x+y+d=0对称，则Sn=

A． n2 B．-n2 C．2n－n2 D．n2－2n

9．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个

正三角形，则这个几何体的

A.外接球的半径为
B.体积为

C.表面积为
D.外接球的表面积为

10．已知函数
，定义函数
给出下列命题：

①
； ②函数
是奇函数；③当
时，若
，
，总有
成立，其中所有正确命题的序号是

A．② 　 B．①② 　C．③ D．②③

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：（共25分）

11．已知
．

12．函数
的图像与直线
有且仅有两个

不同的交点，则
的取值范围是__________．

13．执行如图所示的程序框图，若输出的
的值为31，则图中判断

框内①处应填的整数为 .

14．函数

满足
，
，则不等式
的解集为______.

15．给出下列5种说法：

①在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；②标准差越小，样本数据的波动也越小；③回归直线过样本点的中心
；④在回归分析中对于相关系数r，通常,当

大于0,75时,认为两个变量存在着很强的线性相关关糸. ⑤极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴非负半轴重合，曲线C的极坐标方程为
，直线l的参数方程为
(t为参数）,直线l与曲线C交于A、B,则 线段AB的长等于
；

其中说法正确的是____________（请将正确说法的序号写在横线上）.

三、解答题（共75分）

16．（ 12分）已知

，

，其中
，若函数

，且
的对称中心到
对称轴的最近距离不小于

（Ⅰ）求
的取值范围；

（Ⅱ）在
中，
分别是角
的对边，且
，当
取最大值时，
，求
的面积.

17．（ 12分）如图，已知多面体
的底面
是边长为
的正方形，
底面
，
，且
． （Ⅰ）求多面体
的体积；（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值；

（Ⅲ）记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作

一条直线与平面
平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．

18．（ 12分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表：

喜爱打篮球

不喜爱打篮球

合计



男生



6





女生

10







合计





48



 已知在全班48人中随机抽取1人，抽到不喜爱打篮球的学生的概率为

（I）请将上面的2×2列联表补充完整（不用写计算过程）；

（II）你是否有95%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由。

（III）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X，求X的分布列与期望。下面的临界值表供参考：

0．100

0．050

0．025

0．010

0．001





2．706

3．841

5．024

6．635

10．828





19．（ 13分）已知
分别为椭圆

的左右焦点，
分别为其左右顶点，过
的直线
与椭圆相交于
两点. 当直线
与
轴垂直时，四边形
的面积等于2，且满足
.

（Ⅰ）求此椭圆的方程；

（Ⅱ）当直线
绕着焦点
旋转但不与
轴重合时，求
的取值范围.

20．（ 13分）已知数列
满足
,
．

（Ⅰ）证明数列
是等比数列,并求出数列
的通项公式；

（Ⅱ）设数列
的前
项和为
，且对一切
，都有
成立，求
.

21．（ 13分）已知函数f(x)＝ln(1＋x)－ax在x＝－处的切线的斜率为1．

（Ⅰ）求a的值及f(x)的最大值；

（Ⅱ）证明：1＋＋＋…＋＞ln(n＋1)（n∈N*）；

（Ⅲ）设g(x)＝b(ex－x)，若f(x)≤g(x)恒成立，求实数b的取值范围．

数 学 试 题（理科） 评 分 标 准

1．C 2。B 3。D 4。B 5。B 6。D 7。B 8。C 9。D 10。D11．

12.
13. 4 14.
15. ②④⑤

16．解：（Ⅰ）

……3分

，
函数
的周期
，由题意知
，即
，

又
，
.故
的取值范围是
……6分

（Ⅱ）由（I）知
的最大值为1，
.
，

.而
，
，

．　……9分　

由余弦定理可知：
，
，

又

联立解得：
.
　……12分

17. 解：（Ⅰ）如图，连接ED，

∵
底面
且
，∴
底面
,

∴
,

∵
,

∴
面
, ----------------1分

∴
, --------2分

, -------------3分

∴多面体
的体积

．--------------5分

（Ⅱ）以点A为原点，AB所在的直线为
轴，AD所在的直线为
轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A(0,0,0),E(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),F(0,2,1),

所以
------7分

设平面ECF的法向量为
，

则
　　　得：

取y=1,得平面
的一个法向量为
------9分

设直线
与平面
所成角为
，

所以


----10分 （Ⅲ）取线段CD的中点
；连接
，直线
即为所求． ---11分

图上有正确的作图痕迹………………………………12分

18.

19解：(Ⅰ)当直线
与x轴垂直时，由
，得
.

又
,所以
，即
，又
，

解得
. 因此该椭圆的方程为
. (5分)

（Ⅱ）设
，而
，

所以
，
，

，
.从而有

. (7分)

因为直线
过椭圆的焦点
，所以可以设直线
的方程为
，则

由
消去
并整理，得
，

所以
，
. (9分)

进而
，
，可得

.(11分)

令
，则
. 从而有
，而
，

所以可以求得
的取值范围是
.(13分)

20.解：解：（Ⅰ）由
可得

所以数列
是以2为首项，3为公比的等比数列 ……………………3分

故有

……6分

（Ⅱ） 由
可知当
时,
,
,

当
时,
,
……………………8分

设

综上
……13分

21．（Ⅰ）函数f(x)的定义域为（－1，＋∞）．

求导数，得f ′(x)＝－a．由已知，得f ′(－)＝1，即－a＝1，∴a＝1．

此时f(x)＝ln(1＋x)－x，f ′(x)＝－1＝，

当－1＜x＜0时，f ′(x)＞0；当x＞0时，f ′(x)＜0．

∴当x＝0时，f(x)取得极大值，