南安一中2013届高三毕业班第一次模拟考试

数学科试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷，共4页，满分１５０分，考试时间１5０分钟。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。

2．请使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。

第I卷（选择题 共60分）

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题（只）有一项符合题目要求）

1．复数
在复平面上对应的点的坐标是（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 已知
＜4，则曲线
和
有（ ）

A. 相同的短轴 B. 相同的焦点 C. 相同的离心率 D. 相同的长轴

3．已知m、n为两条不同的直线，
、
为两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）

A．若
∥
，m∥
，则m∥
B．若m⊥
，m⊥
，则
∥

C．若
⊥
，m⊥
，则m⊥
D．若m∥
，m⊥n，则n⊥

4．已知幂函数
的图像经过点（9，3），则
=（ ）

A.3 B.
C.
D.1

5．已知
，则
等于 ( )

A．
B．
C．
D．

6. 某 算 法 的 程 序 框 图 如 图，执 行 该 算 法 后 输 出 的 结 果i 的值为 ( )

A .4 B. 5 C. 6 D. 7

7．设
是区域
　内的动点，且不等式
恒成立，则实数
的取值范围是 ( )

A.［8,10］ B. ［8,9］ C. ［6,9］ D. ［6,10］

8．已知函数
的最小正周期是
，若将其图象向右平移
个单位后得到的曲线关于原点对称，则函数f （x）的图象 ( )

A．关于点（
， 0）对称 B．关于直线x=
对称

C．关于点（
，0）对称 D．关于直线x=
对称

9．某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面

积和是( )

(A) 2 (B) 4 (C)
(D)

10．设
，定义
为
的导数，即
，
，若
的内角
满足
，则
的值是 ( )

A.
B.
C.
D.

11.若
为
内一点，且
，在
内随机撒一颗豆子，则此豆子落在
内的概率为( )

A．
B．
C．
D．

12.如图，矩形
的一边
在
轴上，另外两个顶点
在函数

的图象上.若点
的坐标为

，记矩形
的周长

为
，则
( )

A.208 B. 216 C. 212 D.220

第II卷（非选择题，共90分）

二．填空题（本大题共4小题，共16分）

13.函数
在点
处的切线与
垂直，则实数
．

14．等比数列
的前
项和为
，且
成等差数列．若
，则
＝ ．

15. 双曲线
的渐近线均与
相切,则该双曲线离心率等于

16．设满足3x=5y的点P为(x，y)，下列命题正确的序号是 ．

①(0，0)是一个可能的P点；②(lg3，lg5)是一个可能的P点；

③点P(x，y)满足xy≥0； ④所有可能的点P(x，y)构成的图形为一直线．

.Com]

三．本大题(共6小题，共74分。)

17．(本小题满分12分)

某市政府为了了解居民的生活用电情况，以使全市在用电高峰月份的居民生活不受影响，决定制

定一个合理的月均用电标准．为了确定一个较为合理的标准，必须先了解全市居民日常用电量的

分布情况．现采用抽样调查的方式，获得了
位居民在2012年的月均用电量(单位：度)数据，样本统计结果如下图表：

分组

频数

频率



[0，10]



0.05



[10，20]



0.20



[20，30]

35





[30，40]







[40，50]



0.15



[50，60]

5





合计

n

1





（Ⅰ） 分别求出
的值；

（Ⅱ） 若月用电紧张指数
与月均用电量x(单位：度)满足如下关系式：
，将频率视为概率，求用电紧张指数不小于70%的概率

18．(本小题满分12分)

已知等差数列
的前
项和为
，且
，
.

（Ⅰ）求
及
；（Ⅱ）若数列
的前
项和
，试求
并证明不等式
成立.

19. 在△ABC 中 ，角 A, B, C 的对边分别为
且满足

（Ⅰ）若
，求此三角形的面积;

（Ⅱ）求
的取值范围。

20(本题满分12分)

如图，已知三角形ABC内接于圆O，AB为圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形,

平面ABC,AB=2,
.

（Ⅰ）证明：平面ACD
平面ADE；

（Ⅱ）当AC=x时，V(x)表示三棱锥A—CBE的体积，当V(x)取最大值时，求三角形ABD的面积，并求此时C到平面ABD的距离。

21．（本题满分12分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）若
，求函数
的极值；

（Ⅱ）若函数
在
上有极值，求
的取值范围．

22（本题满分14分）

如图，已知抛物线
的焦点在抛物线
上．

（Ⅰ）求抛物线
的方程及其准线方程；

（Ⅱ）过抛物线
上的动点
作抛物线
的两条切线
、
， 切点为
、
．若
、
的斜率乘积为
，且
，求
的取值范围．

南安一中2012-2013年度高三上学期期末文科数学试卷答案

一．选择题

DBB CDC ADC AAB

二．填空题

13. 1 14． 15 15. 2 16．①③④

三．解答题

17解：（1）第3组的频率＝
………2分

样本容量
…………4分

………………6分

（2）由
得
………………9分

所以，用电紧张指数不小于70%的概率＝
…………12分

19解(1)由正弦定理得：

即
，

在三角形中，得：
，
4分

由
得

6分

(2)
10分

12分

20．解：

在直角三角形ACD和BCD中，易求AD=BD=
，所以等腰三角形ABD，面积S=
（10分）

（11分）

设C点到面ABD的距离为
,则
，
（12分）

法二，令
,
,
,
最大。

21解：（Ⅰ）若
，则
．

． …2分

当
时，
；当
时，
． …3分

所以函数有极小值
，无极大值． …5分

（II）
．

记
．

若
在
上有极值，则
有两个不等根且在
上有根． …7分

由
得
，

所以
． …9分

因为
，所以
． …11分

经检验当
时，方程
无重根．

故函数
在
上有极值时
的取值范围为
． …12分

22解：（Ⅰ）
的焦点为
， …2分

所以
，
． …4分

故
的方程为
，其准线方程为
． …6分

（Ⅱ）任取点
，设过点P的
的切线方程为
．

由
，得
．

由
，化简得
， …9分

记
斜率分别为
，则
，

因为
，所以
…12分

所以
，

所以
． …14分