北京市西城区2013年高三二模试卷

高三数学（文科） 2013.5

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．复数



（A）

（B）

（C）

（D）





2．已知向量
，
．若
与
共线，则实数



（A）

（B）

（C）

（D）





3．给定函数：①
；②
；③
；④
，其中奇函数是



（A）①

（B）②

（C）③

（D）④





4．若双曲线
的离心率是
，则实数



（A）

（B）

（C）

（D）





5．如图所示的程序框图表示求算式“
” 之值，

则判断框内可以填入

（A）

（B）

（C）

（D）





6．对于直线
，
和平面
，
，使
成立的一个充分条件是



（A）
，
∥

（B）
∥
，



（C）
，
，

（D）
，
，





7．已知函数
．若关于
的方程
有两个不同的实根，则实数
的取值范围是



（A）

（B）

（C）

（D）





8．已知集合
的非空子集
具有性质
：当
时，必有
．则具有性质
的集合
的个数是



（A）

（B）

（C）

（D）





第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．已知直线
，
．若
∥
，则实数
______．

10．右图是甲，乙两组各
名同学身高（单位：
）数据

的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为
和
，

则
______
． （填入：“
”，“
”，或“
”）

11．在△
中，
，
，
，则
______；△
的面积是______．

12．设
，
随机取自集合
，则直线
与圆
有公共点的概率是

______．

13．已知命题
函数
在
上单调递增；命题
不等式
的解集是
．若
且
为真命题，则实数
的取值范围是______．

14．在直角坐标系
中，已知两定点
，
．动点
满足
则点
构成的区域的面积是______；点
构成的区域的面积是______．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

已知等比数列
的各项均为正数，
，
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
．证明：
为等差数列，并求
的前
项和
．

16．（本小题满分13分）

如图，在直角坐标系
中，角
的顶点是原点，始边与
轴正半轴重合，终边交单位圆于点
，且
．将角
的终边按逆时针方向旋转
，交单位圆于点
．记
．

（Ⅰ）若
，求
；

（Ⅱ）分别过
作
轴的垂线，垂足依次为
．记△

的面积为
，△
的面积为
．若
，求角
的值．

17．（本小题满分14分）

如图1，在四棱锥
中，
底面
，面
为正方形，
为侧棱
上一点，
为
上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．

（Ⅰ）求四面体
的体积；

（Ⅱ）证明：
∥平面
；

（Ⅲ）证明：平面
平面
．

18．（本小题满分13分）

已知函数
，其中
．

（Ⅰ）若
，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）求
在区间
上的最小值．

19．（本小题满分14分）

如图，椭圆
的左顶点为
，
是椭圆
上异于点
的任意一点，点
与点
关于点
对称．

（Ⅰ）若点
的坐标为
，求
的值；

（Ⅱ）若椭圆
上存在点
，使得
，求
的取值范围．

20．（本小题满分13分）

已知集合
是正整数
的一个排列
，函数

对于
，定义：
，
，称
为
的满意指数．排列
为排列
的生成列．

（Ⅰ）当
时，写出排列
的生成列；

（Ⅱ）证明：若
和
为
中两个不同排列，则它们的生成列也不同；

（Ⅲ）对于
中的排列
，进行如下操作：将排列
从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加
．

北京市西城区2013年高三二模试卷

高三数学（文科）参考答案及评分标准

2013.5

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1． A； 2．A； 3．D； 4．B； 5．C； 6．C； 7．B； 8．B．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．
； 10．
； 11．
，
；

12．
； 13．
； 14．
，
．

注：11、14题第一空2分，第二空3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.

15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：设等比数列
的公比为
，依题意
． ………………1分

因为
，
，

两式相除得
， ………………3分

解得
， 舍去
． ………………4分

所以
． ………………6分

所以数列
的通项公式为
． ………………7分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得
． ………………9分

因为
，

所以数列
是首项为
，公差为
的等差数列． ………………11分

所以
． ………………13分

16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：由三角函数定义，得
，
． ………………2分

因为
，
，

所以
． ………………3分

所以
． ………………5分

（Ⅱ）解：依题意得
，
．

所以
， ………………7分

． ……………9分

依题意得
，

整理得
． ………………11分

因为
， 所以
，

所以
， 即
． ………………13分

17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：由左视图可得
为
的中点，

所以 △
的面积为
．………………1分

因为
平面
， ………………2分

所以四面体
的体积为

………………3分

． ………………4分

（Ⅱ）证明：取
中点
，连结
，
． ………………5分

由正（主）视图可得
为
的中点，所以
∥
，
． ………6分

又因为
∥
，
， 所以
∥
，
．

所以四边形
为平行四边形，所以
∥
． ………………8分

因为
平面
，
平面
，

所以 直线
∥平面
． ………………9分

（Ⅲ）证明：因为
平面
，所以
．

因为面
为正方形，所以
．

所以
平面
．