北京市西城区2013年高三二模试卷

高三数学（理科） 2013.5

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知全集
，集合
，
，那么



（A）

（B）



（C）

（D）





2．在复平面内，复数
的对应点是
，
的对应点是
，则



（A）

（B）

（C）

（D）





3．在极坐标系中，圆心为
，且过极点的圆的方程是



（A）

（B）

（C）

（D）





4．如图所示的程序框图表示求算式“
” 之值，

则判断框内可以填入

（A）

（B）

（C）

（D）





5．设
，
，
，则



（A）

（B）



（C）

（D）





6．对于直线
，
和平面
，
，使
成立的一个充分条件是



（A）
，
∥

（B）
∥
，



（C）
，
，

（D）
，
，





7．已知正六边形
的边长是
，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是



（A）

（B）

（C）

（D）





8．已知函数
，其中
表示不超过实数
的最大整数．若关于
的方程
有三个不同的实根，则实数
的取值范围是



（A）

（B）



（C）

（D）





第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．右图是甲，乙两组各
名同学身高（单位：
）数据

的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为
和
，

则
______
． （填入：“
”，“
”，或“
”）

10．
的展开式中
项的系数是______．（用数字作答）

11．在△
中，
，
，
，则
______；△
的面积是______．

12．如图，
是半圆
的直径，
在
的延长线上，
与半圆
相切于点
，
．若
，
，则
______．

13．在等差数列
中，
，
，则
______；设
，则数列
的前
项和
______．

14．已知正数
满足
，
，则
的取值范围是______．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

如图，在直角坐标系
中，角
的顶点是原点，始边与
轴正半轴重合，终边交单位圆于点
，且
．将角
的终边按逆时针方向旋转
，交单位圆于点
．记
．

（Ⅰ）若
，求
；

（Ⅱ）分别过
作
轴的垂线，垂足依次为
．记△

的面积为
，△
的面积为
．若
，求角
的值．

16．（本小题满分13分）

某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：

奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．

（Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；

（Ⅱ）记
为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量
的分布列和数学期望．

17．（本小题满分14分）

如图1，四棱锥
中，
底面
，面
是直角梯形，
为侧棱
上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示．

（Ⅰ）证明：
平面
；

（Ⅱ）证明：
∥平面
；

（Ⅲ）线段
上是否存在点
，使
与
所成角的余弦值为
？若存在，找到所有符合要求的点
，并求
的长；若不存在，说明理由．

18．（本小题满分13分）

如图，椭圆
的左顶点为
，
是椭圆
上异于点
的任意一点，点
与点
关于点
对称．

（Ⅰ）若点
的坐标为
，求
的值；

（Ⅱ）若椭圆
上存在点
，使得
，求
的取值范围．

19．（本小题满分14分）

已知函数
，其中
．

（Ⅰ）若
，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）求
在区间
上的最大值和最小值．

20．（本小题满分13分）

已知集合
是正整数
的一个排列
，函数

对于
，定义：
，
，称
为
的满意指数．排列
为排列
的生成列；排列
为排列
的母列．

（Ⅰ）当
时，写出排列
的生成列及排列
的母列；

（Ⅱ）证明：若
和
为
中两个不同排列，则它们的生成列也不同；

（Ⅲ）对于
中的排列
，定义变换
：将排列
从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换
将排列
变换为各项满意指数均为非负数的排列．

北京市西城区2013年高三二模试卷

高三数学（理科）参考答案及评分标准

2013.5

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．C； 2．B； 3．A； 4．C； 5．D； 6．C； 7．B； 8．B．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．
； 10．
； 11．
，
；

12．
； 13．
，
； 14．
．

注：11、13题第一空2分，第二空3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.

15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：由三角函数定义，得
，
． ………………2分

因为
，
，

所以
． …………3分

所以
． ………………5分

（Ⅱ）解：依题意得
，
．

所以
， ………………7分

． ……………9分

依题意得
，

整理得
． ………………11分

因为
， 所以
，

所以
， 即
． ………………13分

16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件
， ………………1分

则
，

故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为
． ………………4分

（Ⅱ）解：随机变量
的所有取值为
． ………………5分

，
，

，
，

． ………………10分

所以，随机变量
的分布列为:



























 ………………11分

． ………………13分

17．（本小题满分14分）

【方法一】

（Ⅰ）证明：由俯视图可得，
，

所以
． ………………1分

又因为
平面
，

所以
， ………………3分

所以
平面
． ………………4分

（Ⅱ）证明：取
上一点
，使
，连结
，
． ………………5分

由左视图知
，所以
∥
，
．…………6分

在△
中，易得
，所以
．又
， 所以
，
．

又因为
∥
，
，所以
∥
，
．

所以四边形
为平行四边形，所以
∥
．………………8分

因为
平面
，