2013年三明市普通高中毕业班质量检查

理 科 数 学

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）， 第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．

3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签）笔或碳素笔书写，字体工整、笔记清楚．

4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

参考公式：

样本数据
，…，
的标准差 锥体体积公式

其中
为样本平均数 其中
为底面面积，
为高

柱体体积公式 球的表面积、体积公式

其中
为底面面积，
为高 其中
为球的半径

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．命题“
”的否定是

A.
B.
C.
D.

2．已知复数
（其中
为虚数单位），则复数
的共轭复数
是

A．
B．
C．
D．

3．设等比数列
的前
项和为
，若
，
，则
等于

A．16 B. 31 C. 32 D.63

4．阅读右边程序框图，下列说法正确的是

A．该框图只含有顺序结构、条件结构

B．该框图只含有顺序结构、循环结构

C．该框图只含有条件结构、循环结构

D．该框图包含顺序结构、条件结构、循环结构

5．函数
的最小正周期是

A．
B．
C．
D．

6．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是

A．
B．

C．
D．

7．已知函数
，则
是

A．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增

B．奇函数，且在
上单调递增

C．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减

D．偶函数，且在
上单调递减

8．在
中，“
”是“
”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

9．过双曲线

，
的左焦点
作圆
:
的两条切线，

切点为
，
，双曲线左顶点为
，若
,则双曲线的渐近线方程为

A．
B．
C．
D．

10．对于函数
，若
，则称
为函数
的“不动点”；若
，则称
为函数
的“稳定点”.如果函数
的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡相应位置．

11．已知随机变量
，若
，则
．

12．若抛物线
上一点
到焦点
的距离为4，则点
的横坐标为 ．

13．在二项式(x－
)6的展开式中, 常数项是＿＿＿．

14．由直线
，
，曲线
及
轴所围成的图形的面积是＿＿＿．

15．已知函数
，（
，

.若
,且函数
的图像关于点
对称，并在
处取得最小值，则正实数
的值构成的集合是 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．(本小题满分13分)

如图，在几何体
中，
平面
，
，
是等腰直角三角形，
，且
，点
是
的中点．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求
与平面
所成角的正弦值．

17．(本小题满分13分)

今年我国部分省市出现了人感染H7N9禽流感确诊病例，各地家禽市场受其影响生意冷清．A市虽未发现H7N9疑似病例，但经抽样有20%的市民表示还会购买本地家禽．现将频率视为概率，解决下列问题：

（Ⅰ）从该市市民中随机抽取3位，求至少有一位市民还会购买本地家禽的概率；

（Ⅱ）从该市市民中随机抽取
位，若连续抽取到两位愿意购买本地家禽的市民，或

抽取的人数达到4位，则停止抽取，求
的分布列及数学期望．

18．(本小题满分13分)

已知椭圆
的离心率为
，且椭圆
的右焦点
与抛物

线
的焦点重合．

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）如图，设直线
与椭圆
交于

两点（其中点
在第一象限），且

直线
与定直线
交于点
，过

作直线
交
轴于点
，试

判断直线
与椭圆
的公共点个数．

19．(本小题满分13分)

某企业有两个生产车间，分别位于边长是
的等边三角形
的顶点
处（如图），现要在边
上的
点建一仓库，某工人每天用叉车将生产原料从仓库运往车间，同时将成品运回仓库．已知叉车每天要往返
车间5次，往返
车间20次，设叉车每天往返的总路程为
.（注：往返一次即先从仓库到车间再由车间返回仓库）

(Ⅰ）按下列要求确定函数关系式：

①设
长为
，将
表示成
的函数关系式；

②设
，将
表示成
的函数关系式.

(Ⅱ）请你选用(Ⅰ）中一个合适的函数关系式，求总路程
的最小值，并指出点
的位置．

20．(本小题满分14分)

已知函数
．

(Ⅰ）求函数
的单调递增区间；

(Ⅱ）当
时，在曲线
上是否存在两点
，使得曲线在
两点处的切线均与直线
交于同一点？若存在，求出交点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由；

(Ⅲ）若
在区间
存在最大值
，试构造一个函数
，使得
同时满足以下三个条件：①定义域
，且
；②当
时，
；③在
中使
取得最大值
时的
值，从小到大组成等差数列．（只要写出函数
即可）

21．本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选
2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.

（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换

已知矩阵
，绕原点逆时针旋转
的变换所对应的矩阵为
．

（Ⅰ）求矩阵
；

（Ⅱ）若曲线
：
在矩阵
对应变换作用下得到曲线
，求曲线
的方程．

（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，以坐标原点
为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线
的极坐标方程为
，直线
的参数方程为
为参数，
）．

（Ⅰ）化曲线
的极坐标方程为直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线
经过点
，求直线
被曲线
截得的线段
的长．

（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲

已知函数
．

（Ⅰ）求
的最小值；

（Ⅱ）若
恒成立，求实数
的取值范围.

2013年三明市普通高中毕业班质量检查

理科数学参考答案及评分标准

一、选择题

1．C 2．A 3．B 4．B 5．B

6．C 7．A 8．C． 9．A 10.D

二．填空题：

11．0.2； 12．3； 13．15； 14．
； 15．
．

三、解答题：

16．解法一：（Ⅰ）取
的中点
，连结
，

则
，且
，……………2分

又
，∴
且
，

所以四边形
是平行四边形，

则
， ………………5分

又因为
平面
，
平面
，

所以
平面
． …………………6分

（Ⅱ）依题得，以点
为原点，
所在的直线分别为
轴，建立如图的空间直角坐标系，

则
，
，
，
，
，
，

所以
，
．

设平面
的一个法向量为
，

则
即
，

取
，得，
． ………………10分

又设
与平面
所成的角为
，
，

则
，

故
与平面
所成角的正弦值为
．…………………………………13分

解法二：（Ⅰ）取
的中点
，连结
，

则
，

又因为
平面
，
平面
，

平面
，
平面
，

所以
平面
，
平面
，

又
，所以平面
平面
，

平面
，∴
平面
．……………6分

（Ⅱ）同解法一． …………………………………13分

17．解：（Ⅰ）依题意可得，任意抽取一位市民会购买本地家禽的概率为
，

从而任意抽取一位市民不会购买本地家禽的概率为
．

设“至少有一位市民会购买本地家禽”为事件
，则
，

故至少有一位市民会购