南安一中2013届高三毕业班第一次模拟考试

数学科试卷

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上．

2．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效．按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．

3．答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．

4．保持答题纸纸面清洁，不破损．考试结束后，本试卷自行保存，将答题纸交回．

参考公式：

样本数据
，
，…，
的标准差：

，其中
为样本平均数；

柱体体积公式：
，其中
为底面面积，
为高；

锥体体积公式：
，其中
为底面面积，
为高；

球的表面积、体积公式：
，
，其中
为球的半径．

第Ⅰ卷（选择题共50分）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡相应位置）

1．若i为虚数单位，且复数
满足
，则复数
的虚部是（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知命题
，则（ ）

A．
B．

C．
D．

3．在等差数列
中，若
，则
等于（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

4．设随机变量
服从正态分布
.若
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

5．已知数列
中，
，
，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（　 ）　　A．
　　 B．

C．
D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

6．已知点
的坐标满足条件
则点
到直线
的距离的最小值为（ ）

A．
　　 B．
C．
D．
　

7．函数
的部分图象大致是（ ）

8．若双曲线
与直线
无交点，则离心率
的取值范围（ ）

A．
B．
C．
D．

9．若函数
的图象与x轴交于点A，过点A的直线
与函数的图象交于B、C两点，则
（ ）

A．
　　 B．
C．
　　　 D．

10．如图，在平面直角坐标系中，正六边形
的中心在坐标原点，边长为
，
平行于
轴，直线
(
为常数)与正六边形交于
两点，记
的面积为
，则关于函数
的奇偶性的判断正确的是（ ）

A．一定是奇函数 B．—定是偶函数

C．既不是奇函数，也不是偶函数 D．奇偶性与
有关

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

本卷包括必答题和选答题两部分．第21（1）、（2）、（3）题为选考题，请考生根据要求选答；第16题~第20题为必答题，每个试题考生都必须做答．

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置）

11．
展开式中常数项为 ．

12．已知函数
若
，则
等于 ．

13．某班级有50名学生，现要采取等距系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1—50号，并分组，第一组1—5号，第二组6—10号，…，第十组46—50号．若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为___ 的学生.

14．一个几何体的三视图如右图所示，则它的体积为 ．

15．定义：平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系(两条数轴的原点重合且单位长度相同)称为平面斜坐标系．在平面斜坐标系xOy中，
，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若
（其中
，
分别是x轴，y轴同方向的单位向量），则P点的斜坐标为(x，y)，向量
的斜坐标为(x，y)．给出以下结论：

①若
，P(2,－1)，则
；

②若
，
，则
；

③若
，
，则
；

④若
，以O为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为
．

其中正确结论的序号是___________（写出所有正确结论的序号）．

三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．(本小题满分13分)

如图1，在Rt
中，
，
．D、E分别是
上的点，且
．将
沿
折起到
的位置，使
，如图2．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）若
，求
与平面
所成角的正弦值；

17．(本小题满分13分)

函数
部分图象如图所示，其图象与
轴的交点为
，它在
轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为
和

（Ⅰ）求
的解析式及
的值；

（Ⅱ）在
中，
、
、
分别是角
、
、
的对边，若
，
的面积为
，求
、
的值.

18．(本小题满分13分)

有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙．已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．

据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表：

所用的时间（天数）

10

11

12

13



通过公路1的频数

20

40

20

20



通过公路2的频数

10

40

40

10



假设汽车A只能在约定日期(某月某日)的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发．

(Ⅰ)为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径；

(Ⅱ)若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为
万元、
万元(其它费用忽略不计)，此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，销售商将少支付给生产商2万元．如果汽车A、B长期按(Ⅰ)所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．(注：毛利润=(销售商支付给生产商的费用)一(一次性费用)) ．

19．(本小题满分13分)

已知椭圆
经过点
，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）动直线
交椭圆
于
、
两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点
，使得以
为直径的圆恒过点
．若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．

20．(本小题满分14分)

已知函数
．

（Ⅰ）若
，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）求函数
的单调区间；

（Ⅲ）设函数
．若至少存在一个
，使得
成立，求实数
的取值范围．

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．

（1）(本小题满分7分)选修4－2：矩阵与变换选做题

已知矩阵A=
有一个属于特征值1的特征向量
.

(Ⅰ) 求矩阵A；

(Ⅱ) 矩阵B=
，点O(0,0)，M(2，-1)，N(0，2)，求
在矩阵AB的对应变换作用下所得到的
的面积.

（2）(本小题满分7分)选修4－4：坐标系与参数方程选做题

在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线
的参数方程为
，曲线
的极坐标方程为
．

（Ⅰ）将曲线
的参数方程化为普通方程；

（Ⅱ）判断曲线
与曲线
的交点个数，并说明理由．

（3）(本小题满分7分)选修4－5：不等式选讲选做题

已知函数
，不等式
在
上恒成立．

（Ⅰ）求
的取值范围；

（Ⅱ）记
的最大值为
，若正实数
满足
，求
的最大值．

南安一中2013届高三毕业班第一次模拟考试数学科试卷参考答案

1．【解析】D．
，故复数
的虚部是
．

2．【解析】A．全称命题的否定是特称命题，所以
.

3．【解析】C．由于
，所以
，解得
．

4．【解析】B．因为
，所以
，

从而
．

5．【解析】B．第1次循环，s=1+1=2 ，n=1+1=2；第2次循环，s=2+2=4， n=2+1=3；
当执行第10项时，
，
的值为执行之后加1的值，所以，判断条件应为进入之前的值，故答案为
或
.

6．【解析】C．作出可行域，可知可行域内的点
到直线
的距离的最小，其值为
．

7．【解析】C．函数
为奇函数，所以图象关于原点对称，排除B；当
时，
，排除D；
，由
，得
，所以函数
的极值有很多个，所以选C.

8．【解析】B．因为双曲线的渐近线为
，要使直线
与双曲线无交点，则直线
，应在两渐近线之间，所以有
，即
，所以
，
，即
，
，所以
．

9．【解析】D． 由
，解得
，即
，过点A的直线
与函数的图象交于B、C两点，根据对称性可知，
是
的中点，所以
，所以

.

10．【解析】B．设点
、
关于原点的对称点分别为为
、
，可知
、
在正六边形的边上．当直线
在某一个确定的位置时，对应有一个
的值，那么

易得直线
的斜率仍为
，对应的截距为
，显然
的面积与

的面积相等，即函数
关于
轴对称，所以
是偶函数．

11．【解析】．
展开式的通项为
，由
，得
，所以常数项为
．

12．【解析】
或
．当
时，由
，得
；当
时，由
，得
．

13．【解析】37．因为
，即第三组抽出的是第二个同学，所以每一组都相应抽出第二个同学，所以第8组中抽出的号码为
号．

14．【解析】
．由三视图可知，该几何体是一个放到的四棱锥，其中四棱锥的底面是主视图，为直角梯形，直角梯形的上底为1，下底为4，高为4.又棱锥的高为4，所以四棱锥的体积为
．

15．【解析】①②④．①若
，P(2,－1)，则
，
，

所以
，①正确；若
，
，则
，
，所以
，即
，所以②正确；
，
，则
，
，所以
，所以③错误；若
，以
为圆心，1为半径的圆，设圆上的任意一点
，由
，可得
，即
，所以
，所以④正确，故填①②④．

16．【解析】（Ⅰ）在图1△
中，
．

. …………………………2分

又
.…………………………4分

由

. …………………………6分

（Ⅱ）如图，以
为原点，建立空间直角坐标系． ……………………7分

．…………………………8分

设
为平面
的一个法向量，

因为

所以
，
令
，得
.

所以
为平面
的一个法向量． ……………………10分

设
与平面
所成角为
．

则
．

所以
与平面
所成角的正弦值为
．……………13分

17． 【解析】（Ⅰ）由图可知，
．设函数
的周期为
，

则
，所以
，所以
． ……………2分

此时，
．

又点
在图象上，所以
，可得
，

因为
，所以
． ……………………………………………4分

所以
的解析式为
． …………………………………5分[

，所以

又因为
是最小的正数，所以