湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三第一次模拟考试

数学（文）试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．[来源:学.科.网]

1．纯虚数
满足

，则
纯虚数
为

A．
B．
C．
D．
或

2．命题甲：
或
；命题乙：
，则甲是乙的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件
D．既不充分条件也不必要条件

3．双曲线
的焦距为
，焦点到一条渐近线的距离为
，则双曲线的标准方程为

A．

B．

C．
或
D．
或

4．直线
过点
与圆
的圆心，则直线
在
轴上的截距为

A．
B．
C．
D．

5．已知函数
，则下面说法错误的是

A．
在
上是增函数 B．
的最小正周期为

C．
的图象向右平移
个单位得到曲线

D．
是
图象的一条对称轴

6．在游乐场，有一种游戏是向一个画满均匀方格的桌面上投硬币，若硬币恰落在任何一个方格内不与方格线重叠，即可获奖．已知硬币的直径为
，方格边长为
(单位：
)，

则游客获奖的概率为

A．
　　B．
　　　 C．
　 D．

7．对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图，则估计此样本的众数、中位数分别为

A．
，
B．
，
C．
，
D．
，

8．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是

A．
B．
C．
D．

9．经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．

对某小组学生每周用于数学的学习时间
与数学成绩
进行数据收集如下：

由表中样本数据求得回归方程为
，则点
与直线
的位置关系是

A．点在直线左侧 B．点在直线右侧 C．点在直线上 D．无法确定

10．已知定义在
上的单调函数
，对
，都有
，

则方程
的解所在的区间是

A．（0，
） B．（
） C．（1，2） D．（2，3）

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，书写不清楚，模拟两可均不得分．

11．已知集合
，

，则
．

12．已知实数
满足
，则
的最大值为 ．

13．已知
，则
的值为 ．

14．若点
满足
，则目标函数
的最小值为 ．

15．执行如图所示的程序框图，输出的
值是 ．

16．如图，
是圆
的直径，
是圆
上的点，

，
，
，

则
的值为 ．

17．对于实数
，将满足“
且
为整数”的实数
称为实数
的小数部分，用符号
表示．对于实数
，无穷数列
满足如下条件：

①
；②
．

（Ⅰ）若
时，数列
通项公式为
；

（Ⅱ）当
时，对任意
都有
，则
的值为 ．

三、解答题：本大题共5小题，共65分，
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本小题满分12分）

已知
中，角
的对边分别为
，
，向量
，

，且
．

（Ⅰ）求
的大小；

（Ⅱ）当
取得最大值时，求角
的大小和
的面积．

19．（本小题满分12分）

已知
是首项为
的等比数列，
依次成等差数列，且
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）记数列
的前
项和为
，若不等式
对任意
恒成立，求实数
的取值范围．

20．（本小题满分13分）

如图，棱柱
的侧面
是菱形，底面
是边长为4的等边三角形，且
．

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）设
是棱
上的点，且
平面
，当
时，求
与平面
所成的角的正切值．

[来源:Zxxk.Com]

21．（本小题满分14分）

我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．

如图，“盾圆
”是由椭圆
与抛物线
中两段曲线弧合成，
为椭圆的左、右焦点，
，
为椭圆与抛物线的一个公共点，
．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在过
的一条直线
，
与“盾圆
”依次交于
四点，使得
与
的面积比为
？若存在，求出直线
方程；若不存在，说明理由．

[来源:学科网]

22．（本小题满分14分）

已知函数
有极小值
．

（Ⅰ）求实数
的值；

（Ⅱ）若
，且
对任意
恒成立，求
的最大值；

（Ⅲ
）当
时，证明：
．

数学（文）试卷答案

1-10 ABCBADBDBC

11答案：
12答案：
13答案：
14答案：3 15答案：

16答案：
17答案：（Ⅰ）
；（Ⅱ）
或

1答案：A 【解析】设
，则
，则
．

2答案：B 【解析】甲
乙，例如，
；

乙
甲，“若
，则
或
”的逆否命题为“若
且
，则
”

此逆否命题为真命题，所以原命题为真命题．

3答案：C 【解析】由题知
，故
，这样的双曲线标准方程有两个．

4答案：B 【解析】直
线方程为
．

5答案：A 【解析】A中，
在
上不是单调函数．

6答案：D 【解析】考查几何概型，游客获奖的概率为
．

7答案：B 【解析】样本的众数为最高矩形底边中点对应的横坐标，为

中位数是频率为
时，对应的样本数据，

由于
，故中位数为
．

8答案：D 【解析】此几何体为半个圆锥与半个圆柱的组合体，体积

．

9答案：B

【解析】样本数据的中心点为
，在直线
上，则

10答案：C 【解析】由题
（
为常数），则

故
，得
，故
，

记
在
上为增函数

且
,

故方程
的解所在的区间是（1，2）．

11答案：
12答案：
13答案：

14答案：3 【解析】
即
，表示以
为

圆心、以1为半径的圆周及其以外的区域，目标函数
在点
和点
处取到最小值3．

15答案：
【解析】由题意，得：

当
时，执行最后一次循环；当
时，循环终止，这是关键，输出
．

16答案：
【解析】

设
，建立
如图所示坐标系，则
，

，
，故
．

17答案：（Ⅰ）
；（Ⅱ）
或

【解析】（Ⅰ）若
时，
,则
．

（Ⅱ）当
时，由
知，
，所以
，
，且
．

①当
时，
，故
（
舍去）

②当
时，
，故
（
舍去）

综上，
或

18解答：（1）因为
，所以

即
，因为
，所以

所以
． 4分

（2）由
，

故

由
，故
最大值时，
． 8分

由正弦定理，
，得

故
． 12分

19解答： (Ⅰ) 由题，设
的公比为
，则
，

由
依次成等差数列，所以
．

即
，解得
或
又
，所以
，故