黄冈中学2013届高三第一次模拟考试

数学（理）试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．纯虚数
满足
，则
为

A．
B．
C．

D．
或

2．命题甲：
或
；命题乙：
，则甲是乙的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件

3．已知双曲线的焦距为
，焦点到一条渐近线的距离为
，则双曲线的标准方程为

A．
B．

C．
或
D．
或

4．用0，1，2，3，4排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则该五位数的个数是

A．36
B．32 C．24 D．20

5．已知
，则
的值为

A．
B．
C．
D．

6
．对某小区100户居民的月均用水量进行统计，

得到样本的频率分
布直方图，
则估计此样本的

众数、中位数分别为

A．
，

B．
，

C．
，

D．
，

7．在游乐场，有一种游戏是向一个画满均匀方格的桌面上投硬币，若硬币恰落在任何一个方格内不与方格线重叠，即可获奖．已知硬币的直径为
，若游客获奖的概率不超过
，则方格边长最长为(单位：
)

A．
B．
C．
D．

8．某几何体的三视图如图示，则此几何体的体积是

A．
B．
C．
D．

9．如图，
是圆
的直径，
是圆
上的点，
，
，

，则
的值为

A．
B．
C．
D．

10．已知定义在
上的单调函数
，对
，都有
，则方程
的解所在的区间是

A．（0，
） B．（
） C．（1，2） D．（2，3）

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题
分，共
分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，书写不清楚，模拟两可均不得分．

（一）必考题（11 — 14题）

11．
的展开式中,含
项的系数为 ．

12．执行如图所示的程序框图，输出的
值是 ．

13．已知
，且
，则
的最大值为 ．

14．对于实数
，将满足“
且
为整数”的实数
称为实数
的小数部分，用符号
表示．已知无穷数列
满足如下条件：[来源:Zxxk.Com]

①
；②
．

（Ⅰ）若
时，数列
通项公式为
；

（Ⅱ）当
时，对任意
都有
，则
的值为 ．

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果给分．）

15．（极坐标与参数方程）

已知抛物线
的极坐标方程为
，若斜率为
的直线经过抛物线
的焦点，与圆
相切，则
．

16．（几何证明选讲）

如图，过半径为
的
上的一点
引半径为
的
的切线，切点为
，若
与
内切于点
，连结
与
交于
点，则
．

三、解答题：本大题共6小题，共
分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知
中，角
的对边分别为
，
，向量
，

，且
．

（Ⅰ）求
的大小；

（Ⅱ）当
取得最大值时，求角
的大小和
的面积．

18．（本小题满分12分）

某象棋比赛规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得
分，比赛进行到有一人比对方多
分或打满
局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时，甲、乙每局获胜的概率分别为
和
，且各局比赛胜负互不影响.

（Ⅰ）求比赛进行
局结束，且乙比甲多得
分的概率；

（Ⅱ）设
表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量
的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，底面

为菱形，
，
为
的中点，
．

（Ⅰ）点
在线段
上，
，试确定
的值，使
平面
；

（Ⅱ）在（I）的条件下，若平面
平面ABCD，求二面角
的大小．

20．（本小题满分12分）

数列
中，已知
，
时，
．数列
满足：
．

（Ⅰ）证明：
为等差数列，并求
的通项公式；

（Ⅱ）记数列
的前
项和为
，是否存在正整数
，使得
[来源:学科网ZXXK]

成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对
；若不存在，说明理由．

21．（本小题满分13分）

我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．

如图，“盾圆
”是由椭圆
与抛物线
中两段曲线弧合成，
为椭圆的左、右焦点，
．
为椭圆与抛物线的一个公共点，
．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求定积分时，可以使用下面的换元法公式：函数
中，令
，

则
（其中
）．

如
．

阅读上述文字，求“盾圆
”的面积．

（Ⅲ）过
作一条与
轴不垂直的直线，与“盾圆
”依次交于
四点，
和
分别为
的中点，问
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

22．（本小题满分14分）

设函数

．

（Ⅰ）当
时，求函数
的最小值；

（Ⅱ）证明：对
，都有
；

（Ⅲ）若
，证明：

．

数学（理）试卷答案

1-10 BBCDABACAC

11答案：
12答案：
13答案：

14答案：（1）
；（2）
或
15答案：
16答案：

1答案：B

解析：设
，则
，则
．

2答案：B

解析：甲
乙，例如，
；

乙
甲，“若
，则
或
”的逆否命题为“若

且
，则
”

此逆否命题为真命题，所以原命题为真命题．

3答案：C

解析：由题易知
，故
，这样的双曲线标准方程有两个．

4答案：D

解析：排除法．偶数字相邻，奇数字也相邻有
，然后减去
在首位的情况，有
，故
．[来源:学,科,网]

5答案：A

解析：由
得，
，

所以
．[来源:Z。xx。k.Com]

6答案：B

解析：样本的众数为最高矩形底边中点对应的横坐标，为

中位数是频率为
时，对应的样本数据，

由于
，故中位数为
．

7答案：A

解析：设方格边长为
，则
．

8答案：C

解析：此几何体为半个圆锥与半个圆柱的组合体，体积
．

9答案：A

解析：

设
，建立如图所示坐标系，则
，

，
，故
．

10答案：C

解析：由题
（
为常数），则

故
，得
，故
，

记
在
上为增函数

且
,

故方程
的解所在的区间是（1，2）．

11答案：

12答案：

解析：由题意，得：

当
时，执行最后一次循环；当
时，循环终止，这是关键，输出
．

13答案：

解析：

14答案：（1）
；（2）
或

解析：（Ⅰ）若
时，
,则
．

（Ⅱ）当
时，由
知，
，所以
，
，且
．

①当
时，
，故
（
舍去）

②当
时，
，故
（
舍去）

综上，
或

15答案：

解析：将
化为普通方程即
，得

16答案：

解析：作两圆的公切线
，连结
，
，则

所以

由弦切角定理知
，
，

则
,
,

所以
，即
.

17答
案：（1）因为
，所以

即
，因为
，所以