北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学学科测试（文史类） 2013.５

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

（1）已知集合
，
，则
=

A.
B.
C.
D.

（2）已知
：
，
：
，则
是
的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

（3）函数
（
）的图象的一条对称轴方程是

A．
B.
C.
D．

（4）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是
，则判断框内的条件是

A.
? B.
?

C.
? D.
？

（第4题图）

（5）若双曲线
的渐近线与抛物线
相切，则此双曲线的离心率等于

A．
B．
C．
D．

（6）将一个质点随机投放在关于
的不等式组
所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于
的概率是

A．
　 B．
C．
D．

（7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

A．
　B．

C．
D．

（第7题图）

（８）已知函数
，定义函数
给出下列命题：

①
； ②函数
是奇函数；③当
时，若
，
，总有
成立，其中所有正确命题的序号是

A． ② 　B．①③ 　C．②③ D．①②

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.

（9）
为虚数单位，计算
　 　．

（10）已知向量
，若
，则
的值为 　.

（11）已知等差数列
的公差为
，
是
与
的等比中项，则首项
_,前
项和
__.

（12）若直线
与圆
相交于
,
两点，且线段
的中点坐标是
，则直线
的方程为 .

（13）某公司一年购买某种货物
吨，每次都购买
吨(
为
的约数)，运费为
万元/次，

一年的总存储费用为
万元.若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨．

（14）数列
的前
项
组成集合
，从集合
中任取

个数，其所有可能的
个数的乘积的和为
（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记
．例如当
时，
，
，
；当
时，
，
，
，
.则当
时，
　 　；试写出
　 　．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

（15）（本小题满分13分）

在
中，角
所对的边分别为
，且


.

（Ⅰ）求函数
的最大值；

（Ⅱ）若
，求b的值．

（16）（本小题满分13分）

为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试.成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成
五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间．

（Ⅰ）求实数
的值及参加“掷实心球”项目

测试的人数；

（Ⅱ）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；

（Ⅲ）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取

2名学生再进行其它项目的测试，求所抽

取的2名学生来自不同组的概率．

（17）（本小题满分14分）

如图，已知四边形
是正方形，
平面
，

，
，
,
,
分别为
,
,
的中点.

（Ⅰ）求证：

平面
；

（Ⅱ）求证：平面
平面
；

（Ⅲ）在线段
上是否存在一点
,使
平面
？

若存在，求出线段
的长；若不存在，请说明理由.

（18） （本小题满分13分）

已知函数
，
（
）.

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）求证：当
时，对于任意
，总有
成立.

（19） （本小题满分14分）

已知椭圆

的右焦点

，长轴的左、右端点分别为
,且
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）过焦点
斜率为

的直线
交椭圆
于
两点，弦
的垂直平分线与
轴相交于点
. 试问椭圆
上是否存在点
使得四边形
为菱形？若存在，试求点
到
轴的距离；若不存在，请说明理由.

（20）（本小题满分13分）

已知实数
（
且
）满足

，记
.

（Ⅰ）求
及
的值；

（Ⅱ）当
时，求
的最小值；

（Ⅲ）当
为奇数时，求
的最小值．

注：
表示
中任意两个数
,
（
）的乘积之和.

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学学科测试答案（文史类） 2013.5

一、选择题：

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）



答案

D

A

B

C

B

C

A

C



二、填空题：

题号

（9）

（10）

（11）

（12）

（13）

（14）



答案




或

8；





63；



（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）

三、解答题：

（15）（本小题满分13分）

（Ⅰ）

.

因为
，所以
.

则所以当
，即
时，
取得最大值，且最大值为
.……7分

（Ⅱ）由题意知
，所以
．

又知
，所以
，则
.

因为
，所以
，则
.

由
得，
． ……………………13分

（16）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由题意可知
，解得
.

所以此次测试总人数为
．

答：此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人． ……………………4分

（Ⅱ）由图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生，成绩优秀的频率为
，则估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率为
． ……………………7分

（Ⅲ）设事件A：从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生来自不同组．

由已知，测试成绩在
有2人，记为
；在
有6人，记为
．

从这8人中随机抽取2人有
，

共28种情况．

事件A包括
共12种情况．

所以
．

答：随机抽取的2名学生来自不同组的概率为
． ……………………………13分

（17）（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为
,
分别为
，
的中点，

所以


.

又因为

平面
，

平面
，

所以

平面
. ……………4分

（Ⅱ）因为
平面
，所以
.

又因为
，
，

所以
平面
.

由已知
,
分别为线段
,
的中点，

所以


.

则
平面
.

而
平面
，

所以平面

平面
. …………………………………………………9分

（Ⅲ）在线段
上存在一点
，使
平面
.证明如下：

在直角三角形
中，因为
,