北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学学科测试（理工类）

2013.5

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

（1）已知集合
，集合
，则
=

A.
B.
C.
D.

（2）若
，则实数
的值为

A．
B．
C．
D．

（3）执行如图所示的程序框图．若输出的结果是
，则判断框内的条件是

A.
? B.
? C.
? D.
?

（第3题图） （第5题图）

（第3题图）

（4）若双曲线
的渐近线与抛物线
有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是

A．
B．
C．
D．

（5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

A．
　 　B．
C．
D．

（6）某岗位安排3名职工从周一到周五值班，每天只安排一名职工值班，每人至少安排一天，至多

安排两天，且这两天必须相邻，那么不同的安排方法有

A．
种 B．
种 　 C．
种 D．
种

（7）已知函数
，定义函数
给出下列命题：

①
； ②函数
是奇函数；③当
时，若
，
，总有
成立，其中所有正确命题的序号是

A．② 　 B．①② 　C．③ D．②③

（8）点
是棱长为1的正方体
的底面
上一点，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.

（9）
为虚数单位，计算
　 　．

（10）若直线
与圆
（
为参数）相交于
，
两点，

且弦
的中点坐标是
，则直线
的倾斜角为 ．

（11）如图，
切圆
于点
，割线
经过圆心
，
，

则
，△
的面积是 ．

（12）某公司一年购买某种货物
吨，每次都购买
吨，运费为
万元/次，一年的总存储费用为

万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨．

（13将一个质点随机投放在关于
的不等式组
所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于
的概率是　 　．

（14）数列
的前
项
组成集合
，从集合
中任取

个数，其所有可能的
个数的乘积的和为
（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记
．例如当
时，
，
，
；当
时，
，
，
，
.则当
时，
　 　；试写出
　 　．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

（15）（本小题满分13分）

在△
中，
所对的边分别为
，且

.

（Ⅰ）求函数
的最大值；

（Ⅱ）若
，求b的值．

（16）（本小题满分14分）

如图，四边形
是正方形，
平面
，

，
，
，
，
分别为
，
，
的中点．

（Ⅰ）求证：

平面
；

（Ⅱ）求平面
与平面
所成锐二面角的大小；

（Ⅲ）在线段
上是否存在一点
,使直线
与直线

所成的角为
？若存在，求出线段
的长；若

不存在，请说明理由.

（17）（本小题满分13分）

为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛成绩共有90分，70分，60分，40分，30分五种，按本次比赛成绩共分五个等级．从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：

成绩等级

A

B

C

D

E



成绩（分）

90

70

60

40

30



人数（名）

4

6

10

7

3



（Ⅰ）根据上面的统计数据，试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“
或
”的概率；

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生（参赛人数很多）中任选3人，记
表示抽到成绩等级为“
或
”的学生人数，求
的分布列及其数学期望
；

（Ⅲ）从这30名学生中，随机选取2人，求“这两个人的成绩之差大于
分”的概率．

（18）（本小题满分13分）

已知函数
（
），
.

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）当
时，若对任意
，
恒成立，求
的取值范围.

（19）（本小题满分14分）

已知椭圆

的右焦点为

，短轴的端点分别为
,且
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）过点
且斜率为

的直线
交椭圆于
两点，弦
的垂直平分线与
轴相交于

点
.设弦
的中点为
，试求
的取值范围．

（20）（本小题满分13分）

已知实数
（
）满足
，记
．

（Ⅰ）求
及
的值；

（Ⅱ）当
时，求
的最小值；

（Ⅲ）求
的最小值．

注：
表示
中任意两个数
,
（
）的乘积之和.

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数学学科测试答案（理工类）

2013.５

一、选择题：

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）



答案

D

B

C

A

A

 C

D

D



二、填空题：

题号

（9）

（10）

（11）

（12）

（13）

（14）



答案



















（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）

三、解答题：

（15）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为

.

因为
为三角形的内角，所以
，

所以
.

所以当
，即
时，
取得最大值，且最大值为
. ………6分

（Ⅱ）由题意知
，所以
．

又因为
，所以
，所以
．

又因为
，所以
．

由正弦定理
得，
． …………13分

（16）（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为
,
分别为
，
的中点，

所以


.

又

平面
，

平面
，

所以

平面
. …………4分

（Ⅱ）因为
平面
，

，

所以
平面
，

所以
，
.

又因为四边形
是正方形，

所以
.

如图，建立空间直角坐标系，

因为
,

所以

，

，

，

，

，
．

…………5分

因为
，
，
分别为
，
，
的中点，

所以

，

，

. 所以
，
.

设
为平面
的一个法向量，则
,即
，

再令
，得
.
,
.

设
为平面
的一个法向量,则
,

即
，令
，得