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北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（二） 数学 （理科） 学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 已知集合，，那么集合是（ ） A． B． C． D． 如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：，，，，，，则图中的值等于（ ） A． B． C． D． 已知圆的极坐标方程是，那么该圆的直角坐标方程是（ ） A． B． C． D． 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 阅读程序框图，运行相应的程序，当输入的值为时，输出的值为（ ） A． B． C． D． 已知，那么的值为（ ） A． B． C． D． 过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，若，则的中点到轴的距离等于（ ） A． B． C． D． 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，（其中是的导函数），若，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 已知向量，，若，则________． 若复数是纯虚数，则实数的值为________． 各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则的值为________，的值为________． 如图，为⊙的直径，切⊙于点，且过点的割线交的延长线于点，若，，则________，________． 5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树，则每个地方至少有一名志愿者的方案共有________种． 在数列中，若对任意的，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差．现给出以下命题： ①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列； ②若数列满足，则数列是比等差数列，且比公差； ③若数列满足，，（），则该数列不是比等差数列； ④若是等差数列，是等比数列，则数列是比等差数列． 其中所有真命题的序号是________． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （本小题共13分） 已知函数． ⑴ 求的最小正周期； ⑵ 当时，求的取值范围． （本小题共13分） 某校高三年级同学进行体育测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级．测试结果如下表：（单位：人） 优秀 良好 合格 男 女 按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取人，其中成绩为优的有人． ⑴ 求的值； ⑵ 若用分层抽样的方法，在合格的同学中按男女抽取一个容量为的样本，从中任选人，记为抽取女生的人数，求的分布列及数学期望． （本小题共14分） 如图，是等边三角形， ，，将沿折叠到的位置，使得． ⑴ 求证：； ⑵ 若，分别是，的中点，求二面角的余弦值． （本小题共14分） 已知函数（）． ⑴ 求的单调区间； ⑵ 如果是曲线上的任意一点，若以为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值； ⑶ 讨论关于的方程的实根情况． （本小题共13分） 已知椭圆：（）的离心率，原点到过点，的直线的距离是． ⑴ 求椭圆的方程； ⑵ 若椭圆上一动点关于直线的对称点为，求的取值范围． ⑶ 如果直线（）交椭圆于不同的两点，，且，都在以为圆心的圆上，求的值． （本小题共13分） 已知数列，，，，（）． ⑴求，； ⑵是否存在正整数，使得对任意的，有； ⑶设，问是否为有理数，说明理由． 北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（二） 数学参考答案（理科） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）B （2）C （3）A （4）D （5）D （6）B （7）D （8）C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9） （10） （11） （12） （13） （14）①③ 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（Ⅰ）因为
=
． 所以的最小正周期． （Ⅱ） 因为， 所以． 所以的取值范围是． ………………………………13分 （16）（共13分） 解：（Ⅰ）设该年级共人，由题意得，所以． 则． （Ⅱ）依题意，所有取值为． ， ， ． 的分布列为：
． ………………………………………13分 （17）（共14分） （Ⅰ）证明：因为 所以， 又因为，且， 所以 平面， 因为平面， 所以 ． （Ⅱ）因为△是等边三角形， ，， 不防设，则 ， 又因为，分别为，的中点， 由此以为原点，，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系． 则有，，，，，． 所以，． 设平面的法向量为． 则 即 令，则． 所以． 又平面的一个法向量为． 所以 ． 所以二面角的余弦值为． ………………………………14分 （18）（共14分） 解:(Ⅰ) ，定义域为， 则． | ||||||||||||||||||||||||||||||
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