天津一中2012-2013学年高三年级四月考数学试卷（文）

一、选择题（每小题5分，共40分）

1．复数
（ ）．

A． B．
C．
D．

2．实数，满足不等式组
,则有（ ）．

A．
B．
C．
D．

3． 对任意非零实数，，若
的运算原理如图示，

则
的值为（ ）．

A．
B．

C．
D．

4．设
则（ ）．

A．
B．
　　 C．
　 D．

5．已知点是双曲线
的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，若
是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）．

A．
B．
C．
D．

6．对于任意实数,< >表示不小于的最小整数，例如<1．1>=2,<
>=,那么“
”是“<>=<>”（ ）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知函数
，其中为实数，若
对
恒成立，且
，则
的单调递增区间是（ ）．

A．
B．

C．
D．

8．平面直角坐标系
内，已知点
，点
在函数

的图象上，
的平分线与
的图象恰交于点
，则实数
的取值范围是（ 　 ）．

A．
B．
C．
D．

二、填空题（每小题5分，共30分）

9．已知三元实数集
，且
,则
的值为 ．

10．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，

可得该几何体的体积是 ．

11． 已知各项为正数的数列
满足
(
)，且
是
的等差中项，则数列
的通项公式是 ．

12．设、为
的两点，且满足
=


+
,

则
__________．

13．如图，已知⊙
的直径
，
为圆周上一点，
，，过
作圆的切线
，
于点，交⊙
于点，则
的长为 ．

14． 已知
，且
，若
恒成立，则实数的取值范围是 ．

三、解答题：

15．（本小题满分13分）

2013年春节，有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾驶摩托车沿321国道返乡过年，为保证他们的安全，交管部门在321国道沿线设立多个驾乘人员休息站，交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车，就进行省籍询问一次，询问结果如下图所示

（Ⅰ）问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？

（Ⅱ）用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？

（Ⅲ）在上述抽出的驾驶人员中任取2名，求至少有一名驾驶人员是广西籍的概率．

系统抽样

16．（本小题满分13分）

在
中，
分别为内角
的对边，且
．

（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若
，
，求边
的长．

17．（本小题满分13分）

如图，底面△
为正三角形的直三棱柱
中，
，
，是
的中点，点在平面
内，
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求证：
∥平面
；

（Ⅲ）求二面角
的大小．

18．（本小题满分13分）

已知数列
是等差数列，且满足：
，
；数列
满足

．

（1）求
和
；

（2）记数列
，若
的前项和为
，求证
．

19．（本小题满分14分）

已知函数
．

（Ⅰ）当
时，求证：函数
在
上单调递增；

（Ⅱ）若函数
有三个零点，求的值．

20．（本小题满分14分）

已知椭圆:
的一个焦点为
且过点
.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设椭圆E的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．

证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．

参考答案

一、选择题（每小题5分，共40分）

1-5 ADCCB 6-8 BBA

二、填空题（每小题5分，共30分）

9．2

10．

11．

12．

13．

14．（-4，2）

三、解答题：

15．（本小题满分13分）

解：（I）系统抽样

（II）2名

（III）

16．（本小题满分13分）

解：（I）cosBcosC+sinBsinC-2sinBsinC=-

cosBcosC-sinBsinC=-

cos(B+C)=-

∵0°

∵A+B+C=180°, ∴A=60°

（II）∵sin
=
, ∴cos
=

∴sinB=2sin
cos
=

由

得b=

17．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）如图，取
的中点
，连结
，
，

∴
，
．

又
，
，
，

∴
平面
．

又
，

∴
．

∵
，∴
．

（Ⅱ）连结
，在
中，
，
，
为中点，

∴
，
．

∴
，∴四边形
为平行四边形．

∴
．

又
，

∴
．

又∵
面
，

∴
平面
．

（Ⅲ）二面角
的大小为
．

18．（本小题满分13分）

解：（1）因为
，
，所以
，所以
；

又
，所以，

得
，所以
。

（2）因为
，所以

而
，所以
。

19．（本小题满分14分）

解： （I）f’(x)=axlna+2x-lna

=(ax-1) lna +2x

当a>1时，lna >0

当x∈（0，+∞）时，ax-1>0,2x>0

∴f’(x)>0

∴f(x)在（0，+∞）↑

（II）当a>1时，x∈（-∞，0）时

ax-1<0,2x<0

f’(x)<0

∴f(x)在（-∞，0）↓

当0

lna <0, ax-1<0,

f’(x)>0,f(x)在（0，+∞）↑

x ∈（-∞，0）时, ax-1>0, lna <0

f’(x)<0, f(x)在（-∞，0）↓

∴当a>0且a≠1时，f(x) 在（-∞，0）↓,f(x)在（0，+∞）↑

∴x=0是f(x)在k上唯一极小值点，也是唯一最小值点.

f(x)min=f(0)=1

若y=[f(x)-t]-1有三个零点

即|f(x)-t|=1

f(x)=t±1有三个根

t+1>t-1

∴t-1=f (x)min= 1

∴t=2

20．（本小题满分14分）

解:（Ⅰ） 由题意得
，
，解得
，

所以椭圆的方程为
.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
，设
，其中
，

直线
:
，令
，得
；

直线
:
，令
，得
.

设圆
的圆心为
，半径为，

则

，
，

而
，所以
，所以
，

所以
，即线段
的长为定值.