2012-2013-2天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（理）

一．选择题：

1．复数
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．“
”是“函数
为奇函数”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知函数
，则函数
的零点所在的区间是( )

A．（0,1） B．（1,2） C．（2,3） D．（3,4）

5．
的展开式的常数项是（ ）

A．－3 B．－2 C．2 D．3

6．在
中，角
所对边长分别为
，若
，则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．如图，边长为1的正方形
的顶点,分别在轴、轴正半轴上移动，则
的最大值是（ ）

A． B．
C． D．4

8．已知椭圆
的离心率为
.双曲线
的渐近线与椭圆
有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆
的方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

二．填空题：

9．在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是 ；若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数后，两组数据的平均数中较大的一组是 组．

10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积与体积分别为___________．

11．如图，
为⊙
的直径，
，弦
交
于

点
．若
，
，则
_____．

12．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线C的极坐标方程为ρcos2θ＝4sin θ(ρ≥0)，直线l的参数方程为(t为参数)，设直线l与抛物线C的两交点为A，B，点F为抛物线C的焦点，则|AF|＋|BF|＝__________.

13．已知函数
的值域为
，若关于x的不等式
的解集为
，则实数c的值为 ．

14．已知函数
的图像与函数
的图像没有公共点,则实数的取值范围是

____________．

三．解答题：

15．已知函数

.

（Ⅰ）求
的定义域及最小正周期；

（Ⅱ）求
在区间
上的最值.

16．为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.

(Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；

(Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为
，求
的分布列和数学期望.

17．在长方体
中，
，
，为
中点.（Ⅰ）证明：
；（Ⅱ）求
与平面
所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱
上是否存在一点，使得
∥平面
？若存在，求
的长；若不存在，说明理由.

18．设数列
的前项和为
.已知
，
，
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；（Ⅱ）记
为数列
的前项和，求
．

19．已知椭圆
的离心率为
，直线
过点
，
，且与椭圆
相切于点.（Ⅰ）求椭圆
的方程；（Ⅱ）是否存在过点
的直线与椭圆
相交于不同的两点
、
，使得
?若存在，试求出直线的方程；若不存在,请说明理由.

20．已知函数
在
处取得极值.

(1)求实数的值；

(2)若关于的方程
在区间
上恰有两个不同的实数根,求实数
的取值范围；

(3)证明:对任意的正整数,不等式
都成立.

参考答案

一．选择题：

1．A

2．A

3．C

4．B

5．D

6．C

7．A

8．D

二．填空题：

9．84；乙

10．7＋，

11．1

12．

13．9

14．

三．解答题：

15．解：（Ⅰ）由
得
(
Z)，

故
的定义域为
R

Z}．…………………2分

因为

，………………………………6分

所以
的最小正周期
．…………………7分

（II）由
…………..9分

当
，…………….11分

当
.……………….13分

16．解：（Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件，则

.

所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为
.…………………3分

(Ⅱ）随机变量的可能取值为
.

，

，

，

. …………….11分

随机变量
的分布列为：

因为
，

所以 随机变量的数学期望为.…………….13分

17．（Ⅰ）证明：连接
∵
是长方体，∴
平面
， 又
平面
∴
……1分

在长方形
中，
∴
…………2分

又
∴
平面
， …………3分

而
平面
∴
………4分

（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系
，则

,
………5分

设平面
的法向量为
，则

令
，则
………7分
…………8分

所以
与平面
所成角的正弦值为
………………9分

（Ⅲ）假设在棱
上存在一点，使得
∥平面
.

设的坐标为
，则
因为
∥平面

所以
， 即
，
，解得
， ………………12分

所以 在棱
上存在一点，使得
∥平面
,此时
的长
.……13分

18．解：（Ⅰ）由题意，
，则当
时，
.

两式相减，得
（
）. ……………………………………………2分

又因为
，
，
，……………………………………………4分

所以数列
是以首项为，公比为的等比数列，……………………5分

所以数列
的通项公式是
（
）. ………………………………6分

（Ⅱ）因为
，

所以
， ……………………8分

两式相减得，
， ………11分

整理得，
(
). ………………………………13分

19．（Ⅰ）由题得过两点
，
直线
的方程为
.

因为
，所以
，
. 设椭圆方程为
,………2分

由
消去得，
.又因为直线
与椭圆
相切,所以

………4分



………6分



………8分

又直线
与椭圆
相切，

由
解得
，所以
…………10分

则
. 所以
.

又

所以
，解得
.经检验成立.

所以直线的方程为
.………14分

20．解：(1)
…………1分

时,
取得极值,
…………2分

故
解得
经检验
符合题意. …………3分

（2）由
知
由
,得

令
则
在区间
上恰有两个不同的实数根等价于
在区间
上恰有两个不同的实数根.

当
时,
,于是
在
上单调递增;

当
时,
,于是
在
上单调递减.…………6分

依题意有
,

解得,
…………9分

(3)
的定义域为
,由(1)知
,

令
得,
或
(舍去), 当
时,
,
单调递增;

当
时,
,
单调递减.
为
在
上的最大值. …11分

,故
(当且仅当
时,等号成立)

对任意正整数,取
得,
…………12分

故
. …………14分

（方法二）数学归纳法证明：

当
时，左边
，右边
，显然
，不等式成立.

假设
时，
成立，

则
时，有
.做差比较：

构建函数
，则
，

单调递减，
.

取
，

即
，亦即
，

故
时，有
，不等式成立.

综上可知，对任意的正整数,不等式
都成立.