2013届高三四月份考试数学试卷（文理合卷）

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U={l，2，3，4，5}，集合A={l，2．4}，集合B={l，5}，则
（ ）

A．{2,4} B．{1，2,4} C．{2,3,4,5} D．{l,2,3,4,5}

【解析】
，所以
，选A.

2.
是虚数单位，则
的虚部是（　　）

A．
　 　　 B．
　　　C．
　　　D．

【解析】
=
，选C．

3.设
分别
是的三个内角
所对的边，若
的（　　）

　A.充分不必要条件； B.必要不充分条件；

C.充要条件； D.既不充分也不必要条件；

【解析】若
，由正弦定理得
或

反之，
则
，故选B

4．下列有关命题的说法正确的是（ ）

A．命题“若
，则
”的否命题为“若
，则
”

B．命题“
”的否定是“
”

C．命题“若
，则
”的逆否命题为假命题

D．若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真命题

【解析】“若
，则
”的否命题为“若
，则
”，所以A错误。“
”的否定是“
”所以B错误。若
，则
，原命题正确，所以若
，则
”的逆否命题为真命题，所以C错误。D正确，选D.

5.(文科)若
为等差数列，
是其前n项的和，且
，则
=（C ）

A.
B.
C.
D.

【解析】
，选C.

5（理科） 如果
的展开式中的常数项为
，则直线
与曲线
围成图形的面积为（ ）

A.
B. 9 C.
D.

【解析】展开式的通项为
，所以当
时，
。即常数项为
，所以直线方程为
，由
得
或
，所以曲线所围成图形的面积为
，选C.

6． 如图是某几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积是 ( )

A．
B.
C.
D.

【解析】由三视图可知该几何体为正方体内部四棱锥
(红线图形)。则正方体的边长为2，所以

,所以四棱锥
的体积为
，选A.

7. 已知椭圆
的焦点为
，
，在长轴
上任取一点
，过
作垂直于
的直线交椭圆于点
，则使得
的点
的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

【解析】设
，则

，

，概率为
，选D

8．已知函数
，若
，则函数
的零点个数是

A．1 B. 4 C.3 D. 2

【解析】由
，得
。若
，则
，所以
或
，解得
或
。若
，则
，所以
或
，解得
或
成立，所以函数
的零点个数是4个，选B.

9．设
为双曲线
的左焦点，在
轴上
点的右侧有一点
，以
为直径的圆与双曲线左、右两支在
轴上方的交点分别为
、
，则
的值为（ C ）

A.
B.
C.
D.

【解析】对
有
，特殊情形：
为右焦点，
，
。选C

10．如图正四棱锥
的底面边长为
，高
，点
在高
上，且
，记过点
的球的半径为
，则函数
的大致图像是（ ）

答案：A．

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

11．若
，且
，则
= .

【解析】因为
， 填1。

12. 若某算法流程图如右图所示，则该程序运行后输出

的B等于 。

【解析】第一次循环，
;

第二次循环，
;第三次循环，
;第四次循环，
;第五次循环，
;第六次循环，满足条件

输出
。填63

13．已知变量x、y，满足
的最大值为

【解析】设
，则
。做出不等式组对应的可行域如图为三角形
内。做直线
，平移直线
，当直线
经过点C时，直线
的截距最大，此时
最大，对应的
也最大，由
得
。即
代入
得
，所以
的最大值为

，填3.

14（文科） 给出下列等式：
，
，
， ……

请从中归纳出第

个等式：
．

【解析】易得第

个等式：

；

14.( 理科)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为

【解析】甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生则，从4人中先选2人一个班，然后在分班，有
种。若甲乙两人分在一个班则有
种，所以甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为
种，填30

15.（文科）若函数
的定义域和值域均为
,则
的范围是____
________。

【解析】方程
有两个不同正根，函数
和
相切时
，由对数函数性质知
。填

（ 理科 ）三.选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分。

（1）.（坐标系与参数方程选做题）已知在极坐标系下，点
是极点，则
的面积等于_______；

(2).(不等式选择题）关于
的不等式
的解集是____ ____。

理科四、文科三：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分） 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量
=（sinA,b+c），
=（a－c,sinC－sinB）,满足
=
（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设
=（sin（C+
）,
）,
=（2k,cos2A） （k>1）,
有最大值为3，求k的值.

17．（理科）（本小题满分12分）PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，根据现行国家标准GB3095 – 2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米 ~ 75毫克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标。从某自然保护区2012年全年每天的PM2.5监测值数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：

PM2.5日均值

（微克/立方米）

[25,35]

(35,45]

(45,55]

(55,65]

(65,75]

(75,85]



频数

3

1

1

1

1

3



（1）从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽取3天，求恰有1天空气质量达到一级的概率；（2）从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列；（3）以这10天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量状况，则一年（按366天算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级。（精确到整数）

17．（文科）（本小题满分12分）某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：

组号

分组

频数

频率



第一组

 [230，235)

8

0.16



第二组

 [235，240)

①

0.24



第三组

 [240，245)

15

②



第四组

 [245，250)

10

0.20



第五组

 [250，255]

5

0.10



合 计

50

1.00



（1）写出表中①②位置的数据；

（2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；

（3）在（2）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．

18．（理科）（本小题满分12分）如图分别是正三棱台ABC－A1B1C1的直观图和正视图，O，O1分别是上下底面的中心，E是BC中点．

（1）求正三棱台ABC－A1B1C1的体积；

（2）求平面EA1B1与平面A1B1C1的夹角的余弦；

（3）
若P是棱A1C1上一点，求CP＋PB1的最小值．

18．（文科）（本小题满分12分）长方体
中，
，
，
是底面对角线的交点.

(Ⅰ) 求证：
平面
；

(Ⅱ) 求证：
平面
；

(Ⅲ) 求三棱锥
的体积。

19．已知各项均不相等的等差数列
的前三项和为18，
是一个与
无关的常数，若
恰为等比数列
的前三项，（1）求
的通项公式．（2）记数列
，
的前三
项和为
，求证：

20．（本小题满分13分）已知平面内一动点
到点
的距离与点
到
轴的距离的差等于1．（I）求动点
的轨迹
的方程；（II）过点
作两条斜率存在且互相垂直的直线
，设
与轨迹
相交于点
，
与轨迹
相交于点
，求
的最小值．

21. 文科（本小题满分14分）设函数
。（Ⅰ)若函数
在
处与直线
相切，①求实数
，b的值；②求函数
上的最大值；(Ⅱ)当
时，若不等式
对所有的
都成立，求实数m的取值范围。

21.理科（本小题14分）已知函数
，当
时，函数
取得极大值.

（Ⅰ）求实数
的值；（Ⅱ）已知结论：若函数
在区间
内导数都存在，且
，则存在
，使得
.试用这个结论证明：若
，函数
，则对任意
，都有
；（Ⅲ）已知正数
满足
求证：当
，
时，对任意大于
，且互不相等的实数
,都有

参考答案

选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

C

B

D

C.

A

A

D

C

A



二、填空题：每小题４分，共16分．

11. 1 12.63 。 13。3 14。文

。 理科30 文15题：

理科三：（1）
（2）

（理科四，文科三）解答题：

16．解：（Ⅰ）由条件
=
|，两边平方得
，……2分

得（a－c）sinA＋（b+c）（sinC－sinB）＝0，

根据正弦定理，可化为a（a－c）+（b+c）（c－b）=0,即
，……4分

又由余弦定理
＝2 a cosB,所以cosB＝
，B＝
.……6分

（Ⅱ）
=（sin（C+
）,
）,
=（2k,cos2A） （k>1）,

=2ksin（C+
）+
cos2A=2ksin（C+B）+
cos2A=2ksinA+
-

=-
+2ksinA+
=-
+
（k>1）. ……8分

而0

17（理科）解: 解：（Ⅰ）记“从10天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件
，
.

（Ⅱ）依据条件，
服从超几何分布：其中
，
的可能值为
，其分布列为：

























（Ⅲ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为
，一年中空气质量达到一级或二级的天数为
，则
~

，

一年中平均有256天的空气质量达到一级或二级

17（文科）解：（1）①的位置为12，②的位置为0。30……4分

（2）抽样比为
，所以第三、四、五组抽中的人数为3、2、1……8分

（3）设2人中至少有1名是第四组为事件A，则
……12分

……4分

18（文科）解:(Ⅰ) 证明：依题意：
，

且
在平面
外．…2分

∴
平面
……3分

(Ⅱ) 证明：连结
∵

∴
平面
…………4分

又∵
在
上，∴
在平面
上

∴
……5分

∵
∴

∴
∴
中，
…6分

同理：
∵
中，

∴
…7分，∴
平面
……8分

(Ⅲ)解：∵
平面
∴所求体积

…12分

18. 解:（1）由题意
,正三棱台高为
……..2分

………..4分

（2）设
分别是上下底面的中心，
是
中点，
是
中点.以
为原点，过
平行
的线为
轴建立空间直角坐标系
.

，
，
，
，
，
，
，

设平面
的一个法向量
，则
即

取
，取平面
的一个法向

量
，设所求角为

则
……..8分

（3）将梯形
绕
旋转到
,使其与
成平角

，由余弦定理得

即
的最小值为
……..13分

19/解（1）
是一个与
无关的常数
………2分

又


………4分

………6分

（2）
…8分

又因为

即
……12分

所以：
……12分

20．解：解析：（1）设动点
的坐标为
，由题意得
…2分

化简得
当
时
；当
时

所以动点
的轨迹
的方程为
和
（
） ………………………5分

（2）由题意知，直线
的斜率存在且不为0，设为
，则
的方程为
．

由
设
则

，
…6分

因为
，所以
的斜率为
．设
，则同理可得
，
……7分

………10分

…12分

当且仅当
即
时，
取最小值16．…13分

21. 文科解: （1）①

函数
在
处与直线
相切

解得
……3分

②

当
时，令
得
；令
，得

上单调递增，在[1，e]上单调递减，
……8分

（2）当b=0时，
若不等式
对所有的
都成立，

则
对所有的
都成立，

即
对所有的
都成立，

令
为一次函数，

上单调递增
，

对所有的
都成立

………14分

21.（理科）解：（Ⅰ）
. 由
，得
，此时
.

当
时，
，函数
在区间
上单调递增；

当
时，
，函数
在区间
上单调递减.

函数
在
处取得极大值，故
.…………………………3分

（Ⅱ）令
，………4分

则
.函数
在
上可导，
存在
，使得
.

又

当
时，
，
单调递增，
；

当
时，
，
单调递减，
；

故对任意
，都有
.…………………………8分

（Ⅲ）用数学归纳法证明.

①当
时，
，且
，
，

，
由（Ⅱ）得
，即

，

当
时，结论成立.…………………………9分

②假设当
时结论成立，即当
时，

. 当
时，设正数
满足
令
，

则
，且
.

…………13分

当
时，结论也成立.

综上由①②，对任意
，
，结论恒成立. ……………………14分