文科数学参考解答和评分标准

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

C

B

D

A

C

D

A

C

B





二、填空题

（11）

（12）

（13）

（14）
.

（15）①④⑤

三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

（16）(本小题满分12分)

（Ⅰ）证明：

（Ⅱ）在
中，若
，求
的最大值.

（Ⅰ）证明：

所以原等式成立.…………………………………………4分

（Ⅱ）解法1

……………………8分

∵
∴
∴
时，
………12分

解法2

解法3 ∵
由余弦定理可得

∴

由正弦定理可得
……类似解法参照给分

（17）(本小题满分12分)通过随机询问某校110名高中学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下的列联表：

男

女

合计



看营养说明

40

40

80



不看营养说明

20

10

30



总计

60

50

110



（Ⅰ）从这60名男生中按是否看营养说明采取分层抽样的方法，抽取一个容量为6的样本，问样本中看与不看营养说明的男生各有多少名？

解:（Ⅰ）根据分层抽样可得：样本中看营养说明的男生有
名…………… 2分

不看营养说明的男生有
名.……………………………………… 4分

（Ⅱ）从（Ⅰ）中的6名男生样本中随机选取2名作深度采访，求选到看与不看营养说明的男生各1名的概率；

解:（Ⅱ）记样本中看营养说明的4名男生为
不看营养说明的2名男生为
，从这6名男生中随机选取2名，共有15个等可能的基本事件：

,
，
，
，
,

，
，
，
，

，
，
，

，
，

；……………………………………………………………………………… 6分

其中符合要求的是
，
，
，
，
，
，
，
.

故所求的概率为
.…………………………………………………………………8分

（Ⅲ）根据以上列联表，是否有85%的把握认为“性别与在购买食物时看营养说明”有关？

参考公式：
，其中
.

参考值表：

P(
)

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0. 025

0.010

0.005

0.001





0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828





解:（Ⅲ）假设
：该校高中学生性别与在购买食物时看营养说明无关，则
应该很小.

由题设条件得：
……10分

因为由
可知，所以有
的把握认为该校高中学生“性别与在购买食物时看营养说明”有关. ………………………………………………………………………………… 12分

【命题意图】.本题考查独立性检验、古典概型，中等题.

（18）（本小题满分12分）

如图，正方形
和直角梯形
所在的平面互相垂直，
，
,
，
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求证：

【证明】（Ⅰ）设正方形
的对角线
与
交于点，连接
.由题知
，

∵
，∴四边形
为平行四边形……2分

∴
……………6分

（Ⅱ）

…8分

连
，易知四边形
为边长为1的正方形

∴

∴
为等腰三角形，

∵

∴

同理在
中，
……………10分

………12分

【命题意图】本题考查空间几何体的线、面位置关系的证明，中等题 .

（19）（本小题满分13分）

已知椭圆
的离心率为
，且过点（1，
）．斜率为
的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于，两点，线段
的垂直平分线与轴相交于点
．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求的取值范围；

【命题意图】本题考查直线与椭圆的相关知识，位置关系.考查运算能力、分析问题的能力，中等题.

解：（Ⅰ）依题意，
，可得

可设椭圆方程
，又过点（1，
），

所以椭圆方程为
．………………………………………………………6分

（Ⅱ）因为椭圆的上焦点为（0，
），设直线的方程为
，

由
可得
．……………………………………8分

设
，

则
，
．

可得
． ……………………………………………10分

设线段
中点为，则点的坐标为
，

由题意有
，可得
．得
，………………12分

又
，所以
． ………………………………………………………13分

【命题意图】本题考查椭圆方程，直线与圆锥曲线的位置关系，中等题 .

（20）（本题满分13分）已知数列
中，
，前项和为
，若
..

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
前项和为
，求
取值范围.

解：（Ⅰ）∵
，∴
……………………2分

∵
，∴
，从而
…………………4分

数列
是一个首项
，公差为1的等差数列，

当
时，
………………………6分

当
时，

∴
……………………………………………………7分

（Ⅱ）

； ……………………………………10分

∵

∴
……………………………………………………………13分

【命题意图】.本题考查递推关系，等差数列、裂项求和、函数单调性，中等题.

（21）(本小题满分13分）

已知
函数
．

（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的极值点；

（Ⅱ）若存在
时，使得不等式
成立，求实数的取值范围．

【解】(Ⅰ) 由题意
,
………………………… 1分

由
，解得
或
;

当
或
时，
单调递增，当
时，
单调递减， …… 3分

所以，
是极大值点，
是极小值…………………………………………4分

(Ⅱ) 存在
时，使得不等式
成立等价于
在
上的最小值小于
.

设此最小值为，而

（1）当
时，

则
是区间[1,2]上的增函数, 所以
; ……………………………………6分

（2）当
时，

在
时，

在
时，
…………………… 8分

当
，即
时，
在
上单调递减，∴
;

当
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，

∴

当
即
时，
在
上单调递增，∴
.

综上所述，所求函数的最小值
.…………………………10分

令
，解上述三个不等式得：
……………………………………13分

【命题意图】.本题考查导数应用---单调性、极值、最值，考查分类讨论思想，中等题.