马鞍山市2013年高中毕业班第二次教学质量检测

高三理科数学参考解答及评分标准

第Ⅰ卷（选择题，共50分）[来源:Z,xx,k.Com]

一
、选择题：本
大题共10个小题，每小
题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B铅笔涂黑.

1．【答案】C 由复数的运算得
，故
=
，选C

【命题意图】本题考查复数的概念及运算，容易题

2. 【答案】B

【命题意图】本题考查集合运算，简单题.

3. 【答案】C.

【命题意图】本题考查简易逻辑，容易题.

4．【答案】A.

【命题意图】本题考查线性规划，容易题.

5.【答案】B.

【命题意图】本题考查二项式定理，中等题.

6．【答案】C 该几何体为三棱柱，计算可得表面积

【命题意图】本题考查三视图，几何体表面积，中等
题.

7. 【答案】A.

【命题意图】本题考查程序框图、古典概型等基础知识，考查分析问题解决问题的能力，中等题.

8．【答案】D 由函数性质，得
,解得
故选D

【命题意图】本题考查函数基本性质，
不等式，较难题. [来源:学科网ZXXK]

9．【答案】D,而
，又
，故当
即
时
最小.

【命题意图】本题考查等差数列基础知识，中等题.

10．【答案】 A.简解：由

，知

的过O点的切线为，易知切线的斜率
，数形结合可知选A

【命题意图】本题考查三角函数，导数及其应用，不等式，难题.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

B

C

A

B

C

A

D

D[来源:学科网]

A[来源:学.科.网]





第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题．

11. 直线的极坐标方程为
，圆C：
（θ为参数）上的点到直线的距离值为d，则d的最大值为 ▲ .

【答案】
.

【命题意图】本题考查直线与圆的极坐标方程及参数方程，考查运算能力与数形结合能力，中等题.

12．函数
的部分图像如图所示，其中
，则其解析式为 ▲

【答案】

【命题意图】本题考查三角函数图象，中等题

13. 已知P是椭圆
和双曲线
的一个交点，若
分别是椭圆的左，右焦点，则
▲

【答案】0

【命题意图】本题考查椭圆与双曲线的基本知识，中等题.

14．在
中，若
，
，则
的最小值是 ▲ .

【答案】
.

【命题意图】本题考查平面向量基本知识，中等题.

15. 如图，在正方体
中，E为正方形
的中心，F为

棱
上的动点（包括端点
）.给出下列命题：

存在点F，使得
；

存在点F，使得
所成角
为
；

对任意的点F，总有
；

对任意的点F，三棱锥
的体积为定值.

其中正确的命题的序号是 .

【答案】①③④

【命题意图】本题考查立体几何线面关系、线面角、几何体体积，较难题

三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16．(本题满分12分)

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）在
中，若
，求
的最大值.

【命题意图】本题考查两角和与差的三角函数、平面向量平行关系、正弦定理等基础知识，考查逻辑推理和运算求解能力，简单题．

（Ⅰ）证明：

所以原等式成立.…………………………………………4分

（Ⅱ）解法1

……………………8分

∵
∴

∴
时，
………………12分

解法2

（以下同解法1）

解法3 ∵
由余弦定理可得：

∴
，由正弦定理可得
（以下略）

类似解法参照给分

17．(本题满分1
2分) 某市高二年级甲校有1100人，乙校有900人.现对两校高二年级在当年学业水平考试中的数学学科成绩进行统计分析，采用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩，整理得到以下统计表（本次测试合格线是50分，两校合格率均为100%）：

甲、乙两校高二年级数学成绩统计表

分组









[90，100]



甲校频数

10

25

35

30

x



乙校频数

15

30

25

y

5



（I）计算x，y的值，并根据以上数据估计出学校乙的数学成绩的平
均分（精确到1分）；

（II）若数学成绩不低于80分为优秀，低于80分为非优秀，根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异？”

甲校

乙校

总计[来源:学科网]



优秀









非优秀









总计









附：

0．10

0．05

0．025

0．010

0．005





2．706

3．841

5．024

6．635

7．879





【命题意图】本题考查2×2列联表、抽样调查的方法，及用样本估计总体的基本思想和设计抽样方法收集数据等基础知识，考查应用意识和数据处理的能力.

解：（Ⅰ）依题意甲校应抽取110人，乙校应抽取90人，

故

估计乙校平均分为
.………6分

（Ⅱ）

甲校

乙校

总计



优秀

40

20

60



非优秀

70

70

140



总计

110

90

200





又因为
故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为 “两个
学校的数学成绩有差异” ．……………………………………………………………………………12分

18．(本题满分12分)如图，AB为圆柱的底面直径，过母线的截面ACEF是边长为1的正方形.

（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面BCF；

（Ⅱ）若平面BEF与平面BCF所成的二面角为
，求圆柱的底面直径AB长.

【命题意图】利用圆柱为载体研究空间里的点、线、面之间的位置关系.如面面垂直，二面角等.中等题.

（Ⅰ）证明：∵过圆柱母线的截面ACEF是正方形，∴截面ACEF⊥平面ABC, AE⊥CF

又AB为圆柱的底面直径, ∴AC⊥BC

∴BC⊥截面ACEF ∴ BC⊥AE

又∵

故AE⊥平面BCF 又

∴平面ABE⊥平面BCF…………………………6分

（Ⅱ）解：平面BEF与平面BCF所成的二面角为
，

设AE
=M 由（Ⅰ）AE⊥平面BCF，过E作
于

连接


为

设
则

在
中，

依题

解得
故直径AB长
……………………………12分

方法（2）建立空
间直角坐标系如图

设

则

设平面
法向量为

又平面BCF法向量为
，由
平面BCF，

故

，

故直径AB长
………12分

19．(本题满分13分)已知抛物线
的顶点为P，

两条互相垂直的直线恒与
相切,切点分别为M，N两点.

（Ⅰ）若
,求G点的轨迹
的方程；

（Ⅱ）若直线
与
相交于A,B两点, 与
相交于C,D两点, 设
,
的面积分别是
,
,求证：不论实数m取何值，
为定值，并求出这个定值.

【命题意图】本题考查抛物线及动点的轨迹方程等相关知识，考查运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力，中等题.

解: （Ⅰ）由
得

设
,
,

由
得

再设
，由
及

故G点的轨迹
的方程为
…………………………………………6分

（Ⅱ）显然
，由

记
,
，∴

记
,
，

∴

∴
为常数

∴命题成立，这个常数
为3.……………………………………………………13分

解法2：由解法1，记
,
，
,

由
和
：
的焦点都是点
，且直线
过点

根据抛物线的定义可知：

20．（本题满分13分）函数
，其中
.

（Ⅰ）若函数在其定义域内是单调递增函数，求b的取值范围；

（Ⅱ）设
.当
时，若存在
，使得
，求实数a的取值范围．

【命题意图】本题考察导数在研究函数问题中的应用、由不等式恒成立求解参数范围，考查等价转化思想，这种常规的数学思想方法值得研究. 中等题.

解　（Ⅰ）函数

由题意，f′(x)≥0在(0，＋∞)内恒成立，故
在(0，＋∞)内恒成立

即
恒成立．

显然，
在(0，＋∞)内的最大值为，所以，b≥；

即b的取值范围为
.……………………………………………………6分

（Ⅱ）首先研究f(x)，g(x)在[1,2]上的性质．

由（Ⅰ），当b＝时，
在(0，＋∞)内单调递增，从而f(x)在[1,2]上单调递增，

因此，f(x)在[1,2]上的最小值f(x)min＝f(1)＝0，最大值f(x)max＝f(2)＝1＋ln 2.

g′(x)＝3(x2－a2)，由a>2，知当x∈[1,2]时，g′(x)＝3(x2－a2)<0，

因此，
在[1,2]上单调递减．

g(x)在[1,2]上的最小值g(x)min＝g(2)＝

最大值g(x)max＝g(1)＝

①若g(x)max＝
≥0，即a≥4时，两函数图象在[1,2]上有交点，此时a≥4显然满足题设条件，

②若g(x)max＝

<0，即2

只需f(x)min－g(x)max<，即f(1)－g(1)<，即－(
)<，所
以，3＋

综上，所求实数a的取值范围是
.…………………………………………13分

21．（本题满分13分）已知正项数列
，
满足：对任意正整数n，都有
,
,
成等差数列，
,
,
成等比数列，且
，
.

（Ⅰ）求证：数列{
}是等差数列；

（Ⅱ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅲ）设
，如果对任意正整数n，不等式2aSn<2－
恒成立，求实数a的取值范围．

【命题意图】本题考查等差、等比数列综合应
用，以及对裂项相消及不等式相关知识的理解应用，考查了分类讨论思想，中等题.

（Ⅰ）证明　由已知，得
①

a＝bn·bn＋1 ②

将②代入①得，对任意n≥2，n∈N*，有

即
∴{bn}是等差数列．…………………………………………4分

（Ⅱ）解　设数列{bn}的公差为d，由a1＝
，a2＝
.经计算，得
＝，
＝18.

∴
＝，d＝
－
＝3－＝，bn＝＋(n－1)·＝(n＋4)．

∴bn＝(n＋4)，an＝
.…………………………………………………8分

（Ⅲ）解　由（Ⅰ）得
＝
＝2.

∴Sn＝2＝2.

不等式2aSn<2－
化为4a<2－.

即(a－1)n2＋(3a－6)n－8<0，

设f(n)＝(a－1)n2＋(3a－6)n－8，则f(n)<0对任意正整数n恒成立．

当a－1>0，即a>1时，不满足条件；

当a－1＝0，即a＝1时，满足条件；

当a－1<0，即a<1时，f(n)的对称轴为x＝－