一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）

1．设集合A＝{x|x2-2x－3≤0}，集合B＝{x|
≤0}，如果A
B= (　　)

A．{x|-1≤x<0} B．{x|0≤x<2} C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}

2．已知
，则
（ ）

A．
B．
C.
D.

3．各项都为正数的等比数列
的公比
成等差数列，则
(　　)

A．
B．
C．
D．

4．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)

A．2 B．3 C. D.

5.如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方法有（ ）

A．11种 B．20种 C．21种 D．12种

6、执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则判断框内m的取值范围是（ ）

A．
B．

C．
D．

7．存在两条直线
与双曲线
相交于ABCD四点，若四边形ABCD是正方形，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知平面向量a、b，|a|＝1，|b|＝，且|2a＋b|＝，则向量a与向量a＋b的夹角为(　　)

A. B. C. D．π

9．由命题“存在x∈R，使e|x－1|－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的取值是(　　)

A．(－∞，1) B．(－∞，2) C．1 D．2

10．已知
是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线，有下列三个条件：①
②
③
如果命题
且_______，则
为真命题，则可以在横线处填入的条件是（ ）

A. ①或② B. ②或③ C. ①或③ D．只有②

11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知(a5－1)3＋2 011·(a5－1)＝1，(a2 007－1)3＋2 011(a2 007－1)＝－1，则下列结论正确的是(　　)

A．S2 011＝2 011，a2 007a5

C．S2 011＝－2 011，a2 007≤a5 D．S2 011＝－2 011，a2 007≥a5

12．如图，有一条长度为1的线段EF，其端点E、F分别在边长为3的正方形ABCD的四边上滑动，当F沿正方形的四边滑动一周时，EF的中点M所形成的轨迹长度最接近于(　　)

A．8 B．11

C．12 D．10

二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分）

13．在
中，AD为BC边上的中线，且AC=2AB=2AD=4,则BD＝________.

14设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．

15．在三棱锥A-BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，
、
、
的面积分别为
、
、
，则三棱锥A-BCD的外接球的体积为_______．

16．已知函数
是R上的偶函数，对于任意
都有
成立，当
，且
时，都有
给出下列命题：

①
②直线
是函数
的图像的一条对称轴；

③函数
在[-9，-6]上为增函数； ④函数
在[-9，9]上有4个零点。

其中正确的命题为． （将所有正确命题的编号都填上）

三、解答题（17——21每题12分）

17、把函数
的图像上的每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移
个单位后得到一个最小正周期为
的奇函数
。

（1）求和的值

（2）求函数
的最大值与最小值。

18、为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品进入市场前必须进行两轮核放射检测，只有两轮都合格才能进行销售。已知某产品第一轮检测不合格的概率为
，第二轮检测不合格的概率为
，两轮检测是否合格相互没有影响。

（1）求该产品不能销售的概率

（2）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利-80元）。已知一箱中有4件产品，记可销售的产品数为X，求X的分布列，并求一箱产品获利的均值。

19、如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使的平面ABD⊥平面CBD,AE⊥平面ABD,且AE=
，

（1） 求证：DE⊥AC

(2)求DE与平面BEC所成角的正弦值

（3）直线BE上是否存在一点M，使得CM//平面ADE,

若存在，求M的位置，不存在，请说明理由。

20、已知
是椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P
在椭圆上，线段
与y轴的交点M满足

(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；

(Ⅱ) 圆O是以
为直径的圆，直线
：
与圆相切，并与椭圆交于不同的两点
,当
,且满足
时，求直线
的方程。

21、已知函数
，

（1）求函数
在
上的最小值；

（2）若函数
与
的图像恰有一个公共点，求实数a的值；

（3）若函数
有两个不同的极值点
，且
，求实数a的取值范围。

在以下三题中任选一题做答，多选依做答的顺序选阅第一题，将所选题的题号涂黑，每题10分。

22、几何证明（选修4-1）

如图，BA是圆O的直径，延长BA至E，使得AE=AO,过E点作圆O的割线交圆O于D、E，使AD=DC,

求证：
;

若ED=2，求圆O的内接四边形ABCD的周长。

23、坐标系与参数方程（选修4-4）

已知曲线
直线

将直线
的极坐标方程和曲线的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；

设点P在曲线C上，求点P到直线
的距离的最小值。

24、不等式选讲（选修4-5）

设
（1）求不等式
的解集；

（2）若不等式
的解集是非空集合，求实数m的取值范围.

2013届高三年级数学试题（理科）答案

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）

1．设集合A＝{x|x2-2x－3≤0}，集合B＝{x|
≤0}，如果A
B= (　B　)

A．{x|-1≤x<0} B．{x|0≤x<2} C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}

2．已知
，则
（ B ）

A．
B．
C.
D.

3．各项都为正数的等比数列
的公比
成等差数列，则
(　C　)

A．
B．
C．
D．

4．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　A　)

A．2 B．3 C. D.

5.如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方法有（ B ）

A．11种 B．20种

C．21种 D．12种

6、执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则判断框内m的取值范围是（ B ）

A．
B．

C．
D．

7．存在两条直线
与双曲线
相交于ABCD四点，若四边形ABCD是正方形，则双曲线的离心率的取值范围为（ C ）

A．
B．
C．
D．

8．已知平面向量a、b，|a|＝1，|b|＝，且|2a＋b|＝，则向量a与向量a＋b的夹角为(　B　)

A. B. C. D．π

9．由命题“存在x∈R，使e|x－1|－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的取值是(　C　)

A．(－∞，1) B．(－∞，2) C．1 D．2

10．已知
是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线，有下列三个条件：①
②
③
如果命题
且_______，则
为真命题，则可以在横线处填入的条件是（ A ）

A. ①或② B. ②或③ C. ①或③ D．只有②

11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知(a5－1)3＋2 011·(a5－1)＝1，(a2 007－1)3＋2 011(a2 007－1)＝－1，则下列结论正确的是(　A　)

A．S2 011＝2 011，a2 007a5

C．S2 011＝－2 011，a2 007≤a5 D．S2 011＝－2 011，a2 007≥a5

12．如图，有一条长度为1的线段EF，其端点E、F分别在边长为3的正方形ABCD的四边上滑动，当F沿正方形的四边滑动一周时，EF的中点M所形成的轨迹长度最接近于(　B　)

A．8 B．11

C．12 D．10

二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分）

13．在
中，AD为BC边上的中线，且AC=2AB=2AD=4,则BD＝___
_____.

14设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．

15．在三棱锥A-BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，
、
、
的面积分别为
、
、
，则三棱锥A-BCD的外接球的体积为___
_____．

16．已知函数
是R上的偶函数，对于任意
都有
成立，当
，且
时，都有
给出下列命题：①

②直线
是函数
的图像的一条对称轴；

③函数
在[-9，-6]上为增函数；

④函数
在[-9，9]上有4个零点。

其中正确的命题为．①②④ 。（将所有正确命题的编号都填上）

三、解答题

17、把函数
的图像上的每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移
个单位后得到一个最小正周期为
的奇函数
。

（1）求和的值

（2）求函数
的最大值与最小值。

18、为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品进入市场前必须进行两轮核放射检测，只有两轮都合格才能进行销售。已知某产品第一轮检测不合格的概率为
，第二轮检测不合格的概率为
，两轮检测是否合格相互没有影响。

（1）求该产品不能销售的概率

（2）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利-80元）。已知一箱中有4件产品，记可销售的产品数为X，求X的分布列，并求一箱产品获利均值。

18解：（1）设第一轮检测不合格为事件A,第二轮检测不合格为事件B，A与B相互独立，
.

该产品不能销售的概率为
.

(2)X的可能取值为0，1，2，3，4.
，分布列为
。

设一箱产品获利为Y元，则Y=40X-80(4-X)=120X-320。所以E(Y)=120E(X)-320=40.

19、如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD,AE⊥平面ABD,且AE=
，

（1） 求证：DE⊥AC

(2)求DE与平面BEC所成角的正弦值

（3）直线BE上是否存在一点M，使得CM//平面ADE,若存在，求M的位置，不存在，请说明理由。

19.解以A为原点，以射线AB,AC,AE为坐标轴建立空间直角坐标系，

则

由C作平面ABD的垂线，垂足为F，则F为BC的中点，
,

所以点C的坐标为
。

（1）

,故：DE⊥AC。

（2）

设平面BCE的法向量为
，则
,

设线面角为
，

（3）设
，则
。若CM//平面ADE，则
，所以
，故存在M为BE的中点，使得CM//平面ADE。

20、已知
是椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P
在椭圆上，线段
与y轴的交点M满足

(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；

(Ⅱ) 圆O是以
为直径的圆，直线
：
与圆相切，并与椭圆交于不同的两点
,当
,且满足
时，求直线
的方程。

又
，
，
，

。
。所以直线方程为
。

21、已知函数
，

（1）求函数
在
上的最小值；

（2）若函数
与
的图像恰有一个公共点，求实数a的值；

（3）若函数
有两个不同的极值点
，且
，求实数a的取值范围。

21.解：（1）令
，得
，①当
时，函数
在
上