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2013年重庆一中高2013级高三下期第一次月考

数 学 试 题 卷（理科）2013.3

(数学试题共4页,满分150分,考试时间120分钟)

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题，共
分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知
是实数，
是纯虚数，则
等于（ ）

2.在等比数列
中，若
，
是方程
的两根，则
的值是（ ）

3.“平面
上存在不共线四个点到平面
的距离都相等”是“平面
//平面
”的（ ）

充要条件
必要不充分条件
充分不必要条件
既不充分也不必要条件

4. 下列不等式一定成立的是(　　)

当
时

sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)

x2＋1≥2|x|(x∈R)
＞1(x∈R)

5. 已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为
，等腰三角形的腰长为
，则该几何体的体积是 （ ）

6．小明同学有
本不同的数学书，
本不同的物理书和
本不同的化学书，从中任取
本，则这
本书属于不同学科的概率为（ ）

的最小值为
，则二项式
展开式中常数项是（ ）

8.已知函数
.若
有两个不等的实根
，则
的取值范围是（ ）

9.直线
与圆
相交于A,B两点(其中a,b是实数),且△AOB是直角三角形(O是坐标原点),则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值为 ( )

2

定义域是一切实数的函数
，其图像是连续不断的，且存在常数
(
)使得
对任意实数
都成立，则称
是一个“
—和谐函数”． 有下列关于“
—和谐函数”的结论：

①
是常数函数中唯一一个“
—和谐函数”；

②
不是一个“
—和谐函数”； ③
是一个“
—和谐函数”；

④“
—和谐函数”至少有一个零点。 其中正确结论的个数是 （ ）

0个
1个
2个
3个

第Ⅱ卷（非选择题，共
分)

二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分. 把答案填写在答题卡相应位置上.

11. 已知
=

12．阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的
的值是

13．
共有
种排列
（
），其中满足“对所有

都有
”的不同排列有 种。

考生注意：14，15，16三题为选作题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。

如图，
是半径为
的圆
的直径，点
在
的延长

线上，
是圆
的切线，
为切点，点
在直径
上 的射影是
的中点，则

15.已知直线l方程是
（t为参数），以坐标原点为极 点。
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为
＝2，则圆C上的点到 直线l的距离最小值是

三.解答题.（本大题6个小题，共75分.各题解答必须答在答题卷上相应题目指

定的方框内,必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）

17.（本小题满分13分）已知
的三个内角
所对的边分别为a，b，c，向量
，
,且
。

(1)求角
的大小；

(2)若向量
,
,试求
的取值范围。

18.（本小题满分13分）一位游客计划游览重庆市的白公馆、朝天门、解放碑、园博园4个旅游景点，此客人游
览这四个景点的概率分别是0.3,0.4,0.5,0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。

(1)求ξ＝0对应的事件的概率；

(2)求ξ的分布列及数学期望。

19.（本小题满分13分）

已知
=
在点
处的切线与
轴垂直,
．

（1）求
的值及
的单调区间；

（2）已知函数
(
为正实数),若对于任意
，总存在
， 使得
，求实数
的取值范围。

20.（本小题满分12分）如图,在直角梯形ABCP中，AP//BC，AP⊥AB，AB=BC=
AP=2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD。

(1) 求证：平面PCD⊥平面PAD；

(2) 求面GEF与面EFD所成锐二面角的大小。

21. （本小题满分12分）设
是椭圆
的左焦点，直线
方程为
，直线
与
轴交于
点，
、
分别为椭圆的左右顶点，已知
，且
。

(1) 求椭圆的标准方程；

(2) 过点
的直线交椭圆于
、
两点，求三角形
面积的最大值。

22.（本小题满分12分）设函数
在
上的最大值为
（
）．

（1）求数列
的通项公式；

（2）求证：对任何正整数
，都有
成立；

（3）设数列
的前
项和为
，求证：对任意正整数
，都有
成立。

命题人：黄勇庆

审题人：王 明

2013年重庆一中高2013级高三下期第一次月考

数 学 答 案（理科）2013.3

一.选择题.(每小题5分,共50分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

C

B

C

A

D

A

C

D

C





二.填空题.(每小题5分,共25分)

11.
； 12.
； 13.
； 14.
； 15.
； 16.2

三.解答题.(共75分)

17.解：(1)由题意得
，

即
.

由余弦定理得
,
.

（2）∵
，

∴

.

∵
，∴
，∴
.

∴
，故
.

18解：(1)分别记“该客人游览白公馆景点”，“该客人游览朝天门景点”，“该客人游览解放碑景点”，“该客人游览园博园景点”为事件A1，A2，A3，A4.由题意，知A1，A2，A3，A4相互独立，且P(A1)＝0.3，P(A2)＝0.4，P(A3)＝0.5，P(A4)＝0.6.

客人游览的景点数的可能取值为0,1,2,3,4.相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为4,3,2,1,0.所以ξ的可能取值为0,2,4.

故P(ξ＝0)＝P(12A3A4)＋P(1A23A4)＋P(1A2A34)＋P(A123A4)＋P(A12A34)＋P(A1A234)＝0.38.

(2)P(ξ＝4)＝P(A1A2A3A4)＋P(1234)＝0.12.

P(ξ＝0)＝0.38，P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝4)＝0.5.

所以ξ的分布列为:

ξ

0

2

4



P

0.38

0.5

0.12



Eξ＝0×0.38＋2×0.5＋4×0.12＝1.48.

19解：（1）由已知可得
，所以
，∴



所以
，由
，由

的增区间为
，减区间为

（2）
对于任意
，总存在
， 使得
，

由（1）知，当
时，
取得最大值
.

对于
，其对称轴为

当
时，
，

，从而
。

当