上海市黄浦区2013届高三4月第二次模拟

数学试卷(理科) 2013年4月11日

考生注意：

1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；

2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；

3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟.

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．

1．若复数满足
，则的值为___________.

2．函数
的定义域为___________.

3．若直线过点
，且与直线
垂直，则直线的方

程为___________.

4．等差数列
的前10项和为30，则
___________.

5．执行右边的程序框图，则输出的值是___________.

6．设为常数，函数
，若
在
上是增函

数，则的取值范围是___________.

7．在极坐标系中，直线
被圆
所截得的线段长

为___________.

8．已知点
是双曲线
上一点，双曲线两个焦点间的距离等

于4，则该双曲线方程是___________.

9．在平行四边形
中，若
，则
___________.

10．已知
是球面上三点，且
，若球心
到平面

的距离为
，则该球的表面积为__________
.

11．在
中，
，则
的值为___________.

12．已知

且
，则
___________.

13．一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有1件次品. 用户先对产品进行随机抽检

以决定是否接受. 抽检规则如下：至多抽检3次，每次抽检一件产品(抽检后不放回)，只要

检验到次品就停止继续抽检，并拒收这箱产品；若3次都没有检验到次品，则接受这箱产品，

按上述规则，该用户抽检次数的数学期望是___________.

14．已知
，若存在区间
，使得

，则实数的取值范围是___________.

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在

答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15．已知
，且
，则
的值为

A．
B.
C.
D.

16．函数
的反函数是

A．
B.

C．
D.

17．下列命题：①“
”是“存在
，使得
成立”的充分条件；②“
”

是“存在
，使得
成立”的必要条件；③“
”是“不等式
对

一切
恒成立”的充要条件. 其中所以真命题的序号是

A．③ B. ②③ C. ①② D. ①③

18．如果函数
的图像与曲线
恰好有两个不同的公共点，则实数

的取值范围是

A．
B.
C.
D.

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题卷相应编号的规定区域内写出必要的步骤

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.

已知正四棱柱
的底面边长为2，
.

（1）求该四棱柱的侧面积与体积；

（2）若为线段
的中点，求
与平面
所成角的大小.

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知复数
(
为虚数单位)

（1）若
，且
，求与
的值；

（2）设复数
在复平面上对应的向量分别为
，若
，且
，求
的最小正周期和单调递减区间.

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

某医药研究所开发一种新药，在实验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药

后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（小时）之间满足
，

其对应曲线（如图所示）过点
.

（1）试求药量峰值（的最大值）与达峰时间（取最大值

时对应的值）；

（2）如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效，

那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时

间？（精确到0.01小时）

22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

设抛物线
的焦点为，经过点的动直线交抛物线
于点

，
且
.

（1）求抛物线
的方程；

（2）若
(
为坐标原点)，且点在抛物线
上，求直线倾斜角；

（3）若点
是抛物线
的准线上的一点，直线
的斜率分别为
.求证：

当
为定值时，
也为定值.

23． (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

已知数列
具有性质：①
为整数；②对于任意的正整数，当
为偶数时，

；当
为奇数时，
.

（1）若
为偶数，且
成等差数列，求
的值；

（2）设
(
且
N)，数列
的前项和为
，求证：
；

（3）若
为正整数，求证：当
(
N)时，都有
.

参考答案

一、填空题

1.
2.
3.

4. 12 5. 121 6.

7.
8.
9.
10.
11.
12.

13.
14.

二、选择题

15. C

16. D

17. B

18. A

三、解答题

【题目19】

【解析】⑴根据题意可得：在
中，高

∴

⑵过作
，垂足为，连结
，则
平面
，

∵
平面
，∴

∴在
中，
就是
与平面
所成的角

∵
，∴
，

又是
的中点，∴
是
的中位线，

∴

在
中

∴

∴

【题目20】

【解析】⑴∵
，∴

∴
，

∵
，∴
或

∴
或

⑵根据题意可知：

∵
，∴

∴

∴
，

∴

∴最小正周期：

∵
在
上单调减

∴根据复合函数的单调性：

∴

∴
在
上单调减

【题目21】

【解析】将
代入函数可得：
，∴

⑴当
时，

∵
，∴

当
时，

∵

∴
，∴

∴当
时，有最大值为

⑵∵
在
上单调增，在
上单调减，最大值为

∴
在
和
各有一解

当
时，
，解得：

当
时，
，解得：

∴当
时，为有效时间区间

∴有效的持续时间为：
小时

【题目22】设抛物线
：
的焦点为，经过点的动直线交抛物线与

，
两点，且
；

⑴求抛物线的方程；

⑵若
（
为坐标原点），且点在抛物线
上，求直线的倾斜

角；

⑶若点
是抛物线
的准线上的一点，直线
的斜率分别为
，

求证：当
为定值时，
也为定值。

【解析】⑴根据题意可知：
，设直线的方程为：
，则：

联立方程：
，消去可得：
（*），

根据韦达定理可得：
，∴
，∴
：

⑵设
，则：
，由（*）式可得：

∴
，

又
，∴

∴

∵
，∴
，∴
，∴

∴直线的斜率
，∴倾斜角为
或

⑶可以验证该定值为
，证明如下：

设
，则：
，
，

∵
，∴

∴

∴
为定值

【题目23】已知数列
具有性质：①
为整数；②对于任意的正整数，当
为偶数时，

；当
为奇数时，
；

⑴若
为偶数，且
成等差数列，求
的值；

⑵设
（
且
），数列
的前项和为
，

求证：
；

⑶若
为正整数，求证：当

时，都有
；

【解析】⑴设
，
，则：
，

分两种情况：
是奇数，则
，
，

若
是偶数，则