黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟考试

数学（理）试题

注意事项:

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知集合
，
，若
，则
等于

（A）
（B）
（C）
或
（D）
或

（2）已知复数
，则
=

（A）
（B）
（C）
（D）

（3）下列命题中的假命题是

（A）

,
（B）

,

（C）

,
（D）

,

（4）将4名学生分到三个不同的班级，在每个班级至少分到一名学生的条件下，其中甲、乙两名学生不能分到同一个班级的概率为

（A）
（B）
（C）
（D）

（5）等比数列
的公比为
，前
项和为
，若
成等差数列，则公比
为

（A）
或
（B）
（C）
（D）
或

（6）阅读如图所示的程序框图，若输入
，则输出的
值是

（A）
（B）
（C）
（D）

（7）过双曲线
的一个焦点作圆
的两条切线，切点分别为
，若
（
为坐标原点），则双曲线
的离心率为

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）已知角
的终边在射线
上,则

（A）
（B）
（C）
（D）

（9）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为

（A）
（B）
（C）
（D）

（10）函数
的图象可能是下列图象中的

（A） （B） （C） （D）

（11）已知
是抛物线
上的一个动点，
是椭圆
上的一个动点，
是一个定点，若
∥
轴，且
，则
的周长
的取值范围为

（A）
（B）
（C）
（D）

（12）已知定义在
上的函数
满足


，且
，
，则方程
在区间
上的所有实数根之和为

（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答.第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答.

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.

（13）二项式
的常数项为 .(用数字作答)

（14）已知正方体
的各顶点都在同一球面上，若四面体
的表面积为
，则球的体积为____________.

（15）已知
，
,
，点
在
内，且
，设
，则
等于__________.

（16）已知函数
是定义在
上不恒为
的函数，且对于任意的实数
满足
，
，
，
，给出下列命题：①
；②
为奇函数；③数列
为等差数列；④数列
为等比数列.

其中正确的命题是___________.(写出所有正确命题的序号)

三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）

在
中，角
所对的边分别为
，已知
.

（I）求角
；

（II）若
,求
的取值范围.

（18）（本小题满分12分）

已知侧棱垂直于底面的三棱柱
的所有棱长都相等，
为
中点，
在棱
上，且
平面
.

（I）证明：平面
平面
；

（II）求二面角
的余弦值.

（19）（本小题满分12分）

某校有1400名考生参加市模拟考试，现采取分层抽样的方法从文、理考生中分别抽取20份和50份数学试卷，进行成绩分析，得到下面的成绩频数分布表：

分数分组

[0，30）

[30，60）

[60，90）

[90，120）

[120，150]



文科频数

2

4

8

3

3



理科频数

3

7

12

20

8



（I）估计文科数学平均分及理科考生的及格人数（90分为及格分数线）；

（II）在试卷分析中，发现概念性失分非常严重，统计结果如下：

文理

失分

文

理



概念

15

30



其它

5

20





（i）问是否有90%的把握认为概念失分与文、理考生的不同有关？

（ii）从文科这20份试卷中随机抽出2份，设
为“概念失分”的份数，求
的分布列和数学期望.

附：

0.150

0.100

0.050

0.010





2.072

2.706

3.841

6.635





（20）（本小题满分12分）

已知抛物线方程为
，过点

作直线与抛物线交于两点
,

，过
分别作抛物线的切线，两切线的交点为
.

（I）求
的值；

（II）求点
的纵坐标；

（III）求△
面积的最小值.

（21）（本小题满分12分）

已知函数
(
为非零常数).

（I）当
时，求函数
的最小值；

（II）若


恒成立，求
的值；

（III）对于
增区间内的三个实数
(其中
)，

证明：
.

请考生在第（22）～（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，圆
的直径
，
是
延长线上一点，
，割线
交圆
于点
,
，过点
作
的垂线，交直线
于点
，交直线
于点
.

（I）求证：
;

（II）求
的值.

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，已知曲线
:
，在极坐标系（与平面直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴）中，直线
的极坐标方程为
.

（I）将曲线
上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的
倍、
倍后得到曲线
，试写出直线
的直角坐标方程和曲线
的参数方程；

（II）在曲线
上求一点
，使点
到直线
的距离最大，并求出此最大值.

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
.

（I）当
时，求
的解集；

（II）当
时，
恒成立，求实数
的集合.

数学试题参考答案及评分标准（理科）

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．

一．选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

A

B

A

C

C

A

D

B

D

C

C





二．填空题

（13）
； （14）
； （15）
； （16）①②③④.

三. 解答题

（17）（本小题满分12分）

解：（I）由已知得
, ……………………………………2
分

∴
，∵
，∴
. …………………………………4分

（II）法一：由余弦定理得
， ……………………………6分

∴
（当且仅当
时取等号），…………9分

解得
. ………………………………11分

又
，∴
，

∴
的取值范围是
. …………………………………12分

法二：由正弦定理得
， ……………………………6分

又
，∴
， ………7分

， ……………8分

. ………………………………………10分

∵
，∴
，∴

∴
的取值范围是
. …………………………………………………12分

（18）（本小题满分12分）

解法1：

（I）证明：取
中点为
,连结
.

∵
∥
,
∥
，∴
∥
，且确定平面
.

∵
平面
，
平面
，

平面

平面

，

∴

， …………………………2分

∴四边形
为平行四边形.

∵
，∴
为
的中点. ……3分

连结
，可知
.
为
中点，∴
，∵
平面