黄浦区2013年高考模拟考

数学试卷(文科) 2013年4月11日

考生注意：

1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；

2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；

3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．

一、填空题(本大题满分56分)　本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直

接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．

1．函数
的定义域为　　　　　．

2．若复数满足
，则的值为　　　　　．

3．在正△
中，若
，则
　　　　　．

4．若直线过点
，且与直线
垂直，则直线

的方程为　　　　　．

5．等差数列
的前10项和为
，则
　 ．　　　　　　　　　　　 　　

6．设a为常数，函数
．若
在
上是

增函数，则的取值范围是 　 ．

7．执行右边的程序框图，则输出的a值是 ．

8．已知点
的坐标满足
点为坐标原点，则

的最小值为　　　 　．

9．已知点
是双曲线
上一点，双曲线两个焦点间的距离等于4，

则该双曲线方程是 ．

10．已知圆
是球的小圆，若圆
的半径为
cm，球心到圆
所在平面的距离为

cm，则球的表面积为 　 cm2．

11．在△
中，
，
，
，则
的值为　　　　　．

12．已知
，且

，则
．

13．一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品．用户随机抽取3件产品进行检

验，若这3件产品中至少有一件次品，就拒收这箱产品；若这3件产品中没有次品，就接收

这箱产品．那么这箱产品被用户拒收的概率是　　　　　．（用数字作答）

14．已知
，若存在区间

，使得

，

则实数的取值范围是 ．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．已知
，且
，则
的值为　　　　　　　　 （　 ）

A．
B．
　　 C．
　 D．

16．函数
的反函数是　 　 （ 　）

A．
B．

C．
D．

17．如果函数y
的图像与曲线
恰好有两个不同的公共点，则实数的取

值范围是 　　 　 （ ）

A．
∪
　 B．
C．
　 D．
　 　

18．下列命题：①“
”是“存在
，使得
成立”的充分条件；②“
”

是“存在
，使得
成立”的必要条件；③“
”是“不等式
对一切

恒成立”的充要条件．其中所有真命题的序号是　 　 　　 　 　 （　 ）

A．③ B．②③ C．①② D．①③

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

已知正四棱柱
的底面边长为2，且
．

（1）求该正四棱柱的体积；

（2）若为线段
的中点，求异面直线
与
所成角的大小．

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知复数
，

，i为虚数单位）．

（1）若
，且
(0,
，求与的值；

（2）设复数
在复平面上对应的向量分别为
，若
，且
，求

的最小正周期和单调递减区间．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

某医药研究所开发一种新药，在试验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药

后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（小时）之间满足
，其

对应曲线（如图所示）过点
．

（1）试求药量峰值（的最大值）与达峰时间（取

最大值时对应的x值）；

（2）如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗

疾病有效，那么成人按规定剂量服用该药一次后能维

持多长的有效时间？（精确到0.01小时）

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

设抛物线
的焦点为，经过点的动直线交抛物线于

两点，且
．

（1）求抛物线的方程；

（2）若直线
平分线段
，求直线的倾斜角．

（3）若点
是抛物线的准线上的一点，直线
的斜率分别为
．求证：当
时，
为定值．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知数列
具有性质：①
为整数；②对于任意的正整数n，当
为偶数时，
；

当
为奇数时，
．

（1）若
，求数列
的通项公式；

（2）若
成等差数列，求
的值；

（3）设
（
且
N），数列
的前n项和为
，求证：
．

黄浦区2013年高考模拟考数学试卷

（文科）参考答案和评分标准

说明：

1．本解答仅列出试题的一种或两种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．

1．
； 2．
；　　3．2； 　4．
； 　5．12；　 　6．
；

7．121；　　 8．
；　9．
；　10．
；　11．
；　 12．
；

13．
； 　14．
．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．C 16．D 17．A 18． B

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

解：解：（1）在正四棱柱
中，

∵
平面
，
平面
，

∴
，故
，………………3分

∴正四棱柱的体积为
． ………………6分

（2）设是棱
中点，连
，在△
中，

∵
分别为线段
的中点，

∴
∥
，且
，

∴
就是异面直线
与
所成的角． ……8分

∵
平面ABCD，
平面
，∴
，

又
∥
，∴
， ……………………10分

∵
，

∴
，故
．

所以异面直线
与
所成角的大小为
． …………………………12分

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

解：（1）由
，可得
，又
，

∴
又
，　　 　 …………………………2分

故
或
　　 　　　　　　　　　　 　………………………6分

（2）
，

由
，可得
，　　　　 　………………………8分

又
，故

　　　　　　　　　
…………………………11分

故
的最小正周期
， …………………………12分

又由
Z），可得
，

故
的单调递减区间为

． …………………………14分

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

解：（1）由曲线过点
，可得
，故
　　 　……………………2分

当
时，
， ……………………3分

当
时，设
，可知
，

（当且仅当
时，
） ……………………5分

综上可知
，且当取最大值时，对应的值为1

所以药量峰值为4mg，达峰时间为1小时． ……………………6分

（2）当
时，由
，可得
，

解得
，又
，故
． ……………………8分

当
时，设
，则
，

由
，可得
，解得
，

又
，故
，所以
，

可得
．　　　　　　　　 …………………………………………12分

由图像知当
时，对应的的取值范围是
，

∵
，

所以成人按规定剂量服用该药一次后能维持大约
小时的有效时间． …………14分

【另法提示：可直接解不等式
，得出x的取值范围，然后求出有效时间】

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

解：（1）设直线的方程为
，代入
，可得

　　　　　 （*）

由

是直线与抛物线的两交点，

故
是方程（*）的两个实根， ……………………2分

∴
，又
，所以
，又
，可得

所以抛物线的方程为
．　　　　　　　　　　　　　　……………………4分

【另法提示：考虑直线l垂直于x轴这一特殊情形，或设直线l方程为点斜式】

（2）由（1）可知
，

设点是线段
的中点，则有

，
， ………………………7分

由题意知点在直线
上，

∴
，解得
或