黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟考试

数学（文）试题

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知集合
，
，则下列结论成立的是

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）从甲、乙、丙三名学生中选出两名，参加两个不同学习小组，其中甲、乙不同时入选的概率为

（A）
（B）
（C）
（D）

（3）已知命题
，命题
，则

（A）命题
是假命题 （B）命题
是真命题

（C）命题
是真命题 （D）命题
是假命题

（4）已知
是函数
的零点，若
，则
的值满足

（A）
（B）

（C）
（D）
与
均有可能

（5）双曲线
的渐近线方程是
，则其离心率为

（A）
（B）
（C）
（D）

（6）等比数列
的公比为
，前
项和为
，若
成等差数列，则公比
为

（A）
或
（B）
（C）
（D）
或

（7）阅读如图所示的程序框图，若输入
，

则输出的
值是

（A）
（B）
　　

（C）
　　 （D）

（8）已知角
的终边在射线
上，则

（A）
（B）

（C）
（D）

（9）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

（A）
（B）
（C）
（D）

（10）已知
是抛物线
上的一个动点，
是圆
上的一个动点，
是一个定点，则
的最小值为

（A）
（B）
（C）
（D）

（11）函数
的图象可能是下列图象中的

（A） （B） （C） （D）

（12）已知定义在
上的函数
满足


，且
，
，则方程
在区间
上的所有实数根之和为

（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答.第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答.

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.

（13）若复数
满足
（
为虚数单位），则
.

（14）在数列
中，
当
时，
，则
的通项公式为_____________.

（15）已知
，
,
，点
在
内，且
，设
，则
等于__________.

（16）正方体
的各顶点都在球
的球面上，若三棱锥
的体积为
，则球
的体积为____________.

三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）

在
中，角
所对的边分别为
，已知
.

（I）求角
；

（II）若
,求
的取值范围.

（18）（本小题满分12分）

已知侧棱垂直于底面的三棱柱
的所有棱长都相等，
为棱
中点.

（I）证明：
；

（II）在线段
上是否存在点
,使
∥平面
，若存在,确定点
的位置；若不存在，请说明理由.

（19）（本小题满分12分）

某校有1400名考生参加市模拟考试，现采取分层抽样的方法从文、理考生中分别抽取20份和50份数学试卷，进行成绩分析，得到下面的成绩频数分布表：

分数分组

[0，30）

[30，60）

[60，90）

[90，120）

[120，150]



文科频数

2

4

8

3

3



理科频数

3

7

12

20

8



（I）估计文科数学平均分及理科考生的及格人数（90分为及格分数线）；

（II）在试卷分析中，发现概念性失分非常严重，统计结果如下：

文理

失分

文

理



概念

15

30



其它

5

20





问是否有90%的把握认为概念失分与文、理考生的不同有关？

附：

0.150

0.100

0.050

0.010





2.072

2.706

3.841

6.635





（20）（本小题满分12分）

已知直线
与椭圆
相交于
两点，
是线段
上的一点，
，且点
在直线
上.

（I）求椭圆的离心率；

（II）设椭圆左焦点为
，若
为钝角，求椭圆长轴长的取值范围.

（21）（本小题满分12分）

已知函数
.

（I）当
时，求
的单调区间和极值；

（II）若存在
，且
，使
，证明：
.

请考生在第（22）～（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，圆
的直径
，
是
延长线上一点，
，割线
交圆
于点
、
，过点
作
的垂线，交直线
于点
，交直线
于点
.

（I）求证：
；

（II）求
的值.

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，已知曲线
:
，在极坐标系（与平面直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴）中，直线
的极坐标方程为
.

（I）将曲线
上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的
倍、
倍后得到曲线
，试写出直线
的直角坐标方程和曲线
的参数方程；

（II）在曲线
上求一点
，使点
到直线
的距离最大，并求出此最大值.

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
.

（I）当
时，求
的解集；

（II）当
时，
恒成立，求实数
的集合.

数学试题参考答案及评分标准（文科）

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．

一．选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

B

C

B

A

C

C

A

B

A

D

C



二．填空题

（13）
； （14）
； （15）
； （16）

三. 解答题

（17）（本小题满分12分）

解：（I）由已知得
, ……………………………………2分

∴
，∵
，∴
. …………………………………4分

（II）法一：由余弦定理得
， ……………………………6分

∴
（当且仅当
时取等号）， …………9分

解得
. ………………………………11分

又
，∴
，

∴
的取值范围是
. …………………………………12分

法二：由正弦定理得
， ……………………………6分

又
，∴
， …………7分

， ……………8分

. ………………………………………10分

∵
，∴
，∴

∴
的取值范围是
. …………………………………………………12分

（18）（本小题满分12分）

解：（I）连结
,设
,连结
，

∵四边形
是正方形，

∴
且
为
的中点. …………2分

由题意知
，

∴
，∴
. …………4分

又∵
平面
，
，∴
平面
. …………6分

∵
平面
，∴
. ……………………………………7分

（II）存在点
为
的中点，使
平面
. …………………………8分

连接
,


，


，∴
∥
，

∴四边形
为平行四边形，∴
∥
. ………………………………10分

∵
平面
，
平面
，∴
∥平面
. ………………12分

（19）（本小题满分12分）

解: （I）∵

∴估计文科数学平均分为
. ……………………………………………………3分

∵
，
，

∴理科考生有
人及格. ………………………………………………………6分

（II）
. ……………………………10分

故没有90%的把握认为概念失分与文、理考生的不同有关. ……………………12分

（20）（本小题满分12分）

解：设