一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}，若P∪M＝P，则a的取值范围是

A．(－∞，－ 1] B．[1，＋∞) C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)

2．若Sn是等差数列{an}的前n项和，a2＋a10＝4，则S11的值为

A．12 B．18 C．22 D．44

3．复数＝

A．i B．－i C．－－i D．－＋i

4．设a＝log，b＝log，c＝log3，则a、b、c的大小关系是

A．a

5．执行如图所示的程序框图，输出的S值为

A．－3 B．－

C. D．2

6．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为

A．24－π B．24－

C．24－π D．24－

7．已知函数f(x)＝ax－x－a(a>0，a≠1)，那么函数f(x)的零点个数是

A．0个 B．1个 C．2个 D．至少1个

8. 设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为

A. B．5 C. D.

9． 函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是

A. B. C. D.

10．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是

A．y＝sin B．y＝cos C．y＝sin D．y＝cos

11. 长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为

A. B. C. D.

12. 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是

二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）．

13．已知sin(π＋α)＝－，且α是第二象限角，那么sin 2α＝________.

14.设x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为______

15. 已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列的前n项和Sn＝________.

16. 若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是________．

三、简答题（本大题共6小题，共70分）．

17. (本小题满分12分) 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．

(1)如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数；

(2) 记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，列举这两名同学的植树总棵数为19的所有情形并求该事件的概率．

18. (本小题满分12分) △ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－asin C＝bsin B.

(1)求B；

(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.

19. (本小题满分12分) 直棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2.

(1)求证：平面ACB1⊥平面BB1C1C；

(2)在A1B1上是否存在一点P，使得DP与平面ACB1平行？证明你的结论．

20. (本小题满分12分) 双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为，其中A(0，－b)，B(a,0)．

(1)求双曲线的标准方程；

(2)设F是双曲线的右焦点，直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q，点M为线段PQ的中点．若点M在直线x＝－2上的射影为N，满足·＝0，且||＝10，求直线l的方程．

21. (本小题满分12分) 设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.

(1)求a，b的值；

(2)证明：f(x)≤2x－2.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.

22. (本小题满分10分) 选修4－1：几何选讲

如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.

(1)证明：CD∥AB;

(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．

23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．

(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为(4，)，判断点P与直线l的位置关系；

(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设不等式|2x－1|<1的解集为M.

(1)求集合M；

(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．

数学试题（文科）答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

C

A

B

D

A

 D

D

D

A

B

D



二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）．

13. － 14. 5 15. 　 16. 4

19.解：　(1)证明：直棱柱ABCD—A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，

∴BB1⊥AC.

又∵∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2，

∴AC＝，∠CAB＝45°，∴BC＝，∴BC⊥AC.

又BB1∩BC＝B，BB1?平面BB1C1C，BC?平面BB1C1C，

∴AC⊥平面BB1C1C.

又∵AC?平面ACB1，∴平面ACB1⊥平面BB1C1C.（6分）

(2)存在点P，P为A1B1的中点．

要使DP与平面ACB1平行，只要DP∥B1C即可因为A1B1∥DC，所以四边形DCB1P为平行四边形，所以B1P＝DC＝A1B1＝1，所以P为A1B1的中点．即当P为A1B1的中点时，DP与平面BCB1和平面ACB1都平行．（12分）

20．解：(1)依题意有

解得a＝1，b＝，c＝2.所以，所求双曲线的方程为x2－＝1.（4分）

(2)当直线l⊥x轴时，||＝6，不合题意．（5分）

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－2)．

由得，

(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0.

因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以3－k2≠0.（7分）

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，则x1、x2是方程①的两个正根，于是有



所以k2>3。 （9分）

因为·＝0，则PN⊥QN，又M为PQ的中点，||＝10，所以|PM|＝|MN|＝|MQ|＝|PQ|＝5.

又|MN|＝x0＋2＝5，∴x0＝3，

而x0＝＝＝3，∴k2＝9，解得k＝±3.（10分）

∵k＝±3满足②式，∴k＝±3符合题意．

所以直线l的方程为y＝±3(x－2)．

即3x－y－6＝0或3x＋y－6＝0.（12分）

21．解：　 (1)f ′(x)＝1＋2ax＋.（1分）

由已知条件得即

解得a＝－1，b＝3. （4分）

(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，

由(1)知f(x)＝x－x2＋3lnx.

设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3lnx，则

g′(x)＝－1－2x＋＝－. （6分）

当00；当x>1时，g′(x)<0.

所以g(x)在(0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减．（8分）

而g(1)＝0，故当x>0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2. （10分）

23.解：　(1)把极坐标系的点P(4，)化为直角坐标，得P(0,4)，

因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线 l上．

(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为

(cosα，sinα)，

从而点Q到直线l的距离

d＝＝

＝cos(α＋)＋2，

由此得，当cos(α＋)＝－1时，d取得最小值，且最小值为.

24.解：　(1)由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，解得0

所以M＝{x|0

(2)由(1)和a，b∈M可知0

所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0，

故ab＋1>a＋b.