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2013年重庆一中高2013级高三下期第一次月考

数 学 试 题 卷（文科）2013.3

(数学试题共4页,满分150分,考试时间120分钟)

一、选择题（每小题5分，共50分）

1.已知
为虚数单位，若复数
为纯虚数，则实数
的值是( )

A．
B．
C.
D．

2.已知向量
，
，且
，则实数
的值为( )

A．
B．
C．
D．

3.在数列
中，“
且
）”是“
是等比数列”的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4.把函数
的图象向左平移
个单位，所得图像的解析式是（ ）

A．
B．

C．
D．

5.已知
，且
为幂函数，则
的最大值为( )

A．
　　 　　 B．
　 　 　　C．
　　　　 　　D．

6.已知动点
在不等式组
表示的平面区域内部及其边界上运动，则
的最小值是（ ）

A.
B.
C.
D.

7.已知某几何体的三视图（单位：
）如图所示，

则该几何体的体积（
）是（ ）

A．
B．

C．
D．

8.已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的
值为
，

则的判断框内①处应填( )

A.2 B.3 C.4 D.5

9.已知集合
，在区

间
上任取一实数
，则“
”的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

10.已知关于
的方程

恰好有三个不等实根，则实数
的取值范围是( )

A．
B．

C．
D．

二、填空题（每小题5分，共25分）

11.已知函数
为奇函数，且当
时，
，则

12.已知等差数列
的前
项和为
，且
，则
=

13.已知命题
“
”，命题
“
”，若命题“
”是真命题，则实数
的取值范围是

14.下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第
个图形中小正方形的个数是___________.

15.点
为双曲线
的右焦点，以
为焦点的抛物线
交双曲线于
两点，且
，则双曲线的离心率为___________

三、解答题（共75分）

16.已知
分别是
的三个内角
的对边，且满足
．

⑴求角
的大小；

⑵当
为锐角时，求函数
的值域．

17.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次实验，得到数据如下：

零件的个数
(个)

2

3

4

5



加工时间
(小时)

2.5

3

4

4.5



⑴作出散点图；

⑵求出
关于
的线性回归方程
；

⑶预测加工10个零件需要多少小时？

注：可能用到的公式：
，
，

18.如图，正三棱柱
中，
是
的中点，
 ⑴求证：
； ⑵求证：
； ⑶求三棱锥
的体积.

19.已知
，函数

⑴当
时，求函数
在
上的极值；

⑵若在区间
上至少存在一个实数
使
成立，求实数
的

取值范围。

20.已知数列
的前
项和为
，且
，数列
满足
，

且
.

⑴求数列
、
的通项公式，并求数列
的前
项的和
；

⑵设
，求数列
的前
项的和
．

21.设椭圆


（
）过
两点，
为坐标原点，

⑴求椭圆
的方程；

⑵是否存在圆心为原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆
恒有两个交点
且
？若存在，写出该圆的方程，并求
的取值范围，若不存在，说明理由。

命题人：朱 斌

审题人：杨春权

2013年重庆一中高2013级高三下期第一次月考

数 学 答 案（文科）2013.3

一、选择题（每小题5分，共50分）

1—5：DBCCA 6—10:DCBCB

二、填空题（每小题5分，共25分）

11.
12.
13.
14.
15.

三、解答题（共75分）

16. ⑴
由正弦定理，

得：

得：
， 所以，

⑵
得：

所以，所求函数的值域为

17. （1）作出散点图如下：

（2）
,

所以

故

所以回归方程为

(3)当
时，

所以加工
个零件大约需要
个小时.

18. ⑴证明：∵
是正三棱柱， ∴

∴
是
在平面
上的射影 在正
中，∵
是
的中点，  ∴
 根据三垂线定理得，
 ⑵连接
，设
，连接
 ∵
∴四边形
是正方形， ∴
是
的中点， 又
是
的中点， ∴
∵
，
， ∴
.  ⑶

19. ⑴当
时，

当
时，
；

当
时，

故
，
无极小值

⑵设

则

故
在区间
上为增函数

依题意，需

即

解得：

的范围为：

20. ⑴当
，
；

当
时，
，∴
，

∴
是等比数列，公比为2，首项
， ∴

由
，得
是等差数列，公差为2.

又首项
，∴

∴

∴
①

①×2得
②

①—②得：

，

⑵

．

21. （1）因为椭圆

（
）过
两点,

所以
解得
所以
椭圆
的方程为

（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆
恒有两个交点
且
,设该圆的切线方程为
解方程组
得
,即
,

则△=
,即

,

要使
,需使
,即
,

所以
,所以
又
,所以
,

所以
,即
或
,因为直线
为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为
,
,
,

所求的圆为
,此时圆的切线
都满足
或
,

而当切线的斜率不存在时切线为
与椭圆
的两个交点为
或
满足
,

综上, 存在圆心在原点的圆
，使得该圆的任意一条切线与椭圆
恒有两个交点
,且
. 因为
,

所以
,